§1-4）Including magnetic material（Eq.for Magnetic Field）

§1.The case including magnetic material

４）The case including magnetic material(Equations for Magnetic field)

Directly apply rotation for Eq.(1-26) , and consider getting field equation.

$\overset{⃑}{B} (x, y, z) = \overset{⃑}{\nabla} \times \overset{⃑}{A} (x, y, z) = \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \overset{⃑}{\nabla} \times \{\frac{1}{R^{3}} \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') \times \overset{⃑}{R}\} d V'$ 式(1-38)

Using below general formula of vector caluculation.

$\overset{⃑}{\nabla} \times (\overset{⃑}{F} \times \overset{⃑}{G}) = \overset{⃑}{F} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{G}) - \overset{⃑}{G} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{F}) + (\overset{⃑}{G} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{F} - (\overset{⃑}{F} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{G}$ 式(1-39)

式(1-38)の積分の中は $\overset{⃑}{F}$ に $\overset{⃑}{M}$ 、 $\overset{⃑}{G}$ に $\overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}$ を代入すると

$\overset{⃑}{\nabla} \times (\frac{1}{R^{3}} \overset{⃑}{M} \times \overset{⃑}{R}) = \overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) - \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{M}) + (\overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{M} - (\overset{⃑}{M} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}$ 式(1-40)

となるが、 $\overset{⃑}{M}$ は $(x^{'}, y^{'}, z')$ の関数であるので、式(1-40)の2項目の $\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{M}$ 及び3項目の $(\overset{⃑}{R} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{M}$ はゼロとなる。従って式(1-38)は

$\overset{⃑}{B} (x, y, z) = \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \overset{⃑}{\nabla} \times \{\frac{1}{R^{3}} \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') \times \overset{⃑}{R}\} d V'$

$= \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \{\overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) - (\overset{⃑}{M} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}\} d V'$ 式(1-41)

式(1-41)の積分内の第一項目の（　）内は $\overset{⃑}{R} = (x - x^{'}, y - y^{'}, z - z') \neq \overset{⃑}{0}$ であれば

$\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{x - x'}{{\sqrt{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}}}^{3}} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{y - y'}{{\sqrt{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}}}^{3}} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{z - z'}{{\sqrt{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}}}^{3}}$

$= \frac{3}{{\sqrt{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}}}^{3}} - \frac{3 \{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}\}}{{\sqrt{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}}}^{5}} = 0$ 式(1-42)

が成り立つ。

従って積分の領域をFig.5に示した様に、点 $\overset{⃑}{P_{0}} = \overset{⃑}{r} = (x, y, z)$ を含む球の領域 $V_{1}$ とそれ以外の領域 $V_{0} － V_{1}$ に分けて考える。

積分領域

領域 $V_{0} － V_{1}$ では、式(1-42)が成り立つので式(1-41)の積分の第一項は　

$\frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) {d V}^{'} = \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{1}}^{} \overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) {d V}^{'} + \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0} - V_{1}}^{} \overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) {d V}^{'}$

$= \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{1}}^{} \overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) {d V}^{'}$ 式(1-43)

$V_{1}$ の領域を十分小さくとれば $\overset{⃑}{M}$ は一定値 $\overset{⃑}{M} (x, y, z)$ に近づくので式(1-43)は

$\frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{1}}^{} \overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) {d V}^{'} = - \frac{μ_{0}}{4 π} \overset{⃑}{M} (x, y, z) ∭_{V_{1}}^{} \overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla'} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) d V'$ 式(1-44)

ここでベクトル演算の公式

$∭_{V_{0}}^{} \overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{F} d V = \iint_{S_{0}}^{} \overset{⃑}{F} ∙ \overset{⃑}{n} d A$ 式(1-45)

を用いると式(1-44)は

$- \frac{μ_{0}}{4 π} \overset{⃑}{M} (x, y, z) ∭_{V_{1}}^{} (\overset{⃑}{\nabla}' ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) {d V}^{'} = \frac{μ_{0}}{4 π} \overset{⃑}{M} (x, y, z) \iint_{S_{1}}^{} \overset{⃑}{\frac{S}{S^{3}}} ∙ \overset{⃑}{n} d A'$ 式(1-46)

ここで $\overset{⃑}{S}$ は領域 $V_{1}$ の中心から球面 $S_{1}$ 上へのベクトルであり、 $\overset{⃑}{n}$ は球面 $S_{1}$ 上の微小面積要素 $d A'$ の単位法線ベクトルであり、

$\iint_{S_{1}}^{} \overset{⃑}{S} ∙ \overset{⃑}{n} d A' = 4 π S^{3}$ 式(1-47)

であるから、式(1-46)は

$\frac{μ_{0}}{4 π} \overset{⃑}{M} (x, y, z) \iint_{S_{1}}^{} \overset{⃑}{\frac{S}{S^{3}}} ∙ \overset{⃑}{n} d A' = μ_{0} \overset{⃑}{M} (x, y, z)$ 式(1-48)

従って式(1-41)の｛　｝内の第一項は

$\frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \overset{⃑}{M} (\overset{⃑}{\nabla} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) {d V}^{'} = μ_{0} \overset{⃑}{M} (x, y, z)$ 式(1-49)

と表せる事がわかる。

次に、式(1-41)の｛　｝内の第二項目は以下のベクトル演算公式

$\overset{⃑}{\nabla} (\overset{⃑}{F} ∙ \overset{⃑}{G}) = (\overset{⃑}{F} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{G} + (\overset{⃑}{G} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{F} + \overset{⃑}{F} \times (\overset{⃑}{\nabla} \times \overset{⃑}{G}) + \overset{⃑}{G} \times (\overset{⃑}{\nabla} \times \overset{⃑}{F})$ 式(1-50)

を用いる。上式の $\overset{⃑}{F}$ に $\overset{⃑}{M}$ 、 $\overset{⃑}{G}$ に $\overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}$ を代入すると

$\overset{⃑}{\nabla} (\overset{⃑}{M} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) = (\overset{⃑}{M} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} + (\overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{M} + \overset{⃑}{M} \times (\overset{⃑}{\nabla} \times \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) + \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} \times (\overset{⃑}{\nabla} \times \overset{⃑}{M})$ 式(1-51)

$\overset{⃑}{M}$ は $(x^{'}, y^{'}, z')$ の関数であるので、式(1-51)の2項目の $(\overset{⃑}{R} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{M}$ 及び4項目の $\overset{⃑}{\nabla} \times \overset{⃑}{M}$ はゼロとなる。また3項目の括弧内は以下の様に勾配の回転となるのでゼロとなる。

$\overset{⃑}{\nabla} \times \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} = \overset{⃑}{\nabla} \times (- \overset{⃑}{\nabla} \frac{1}{R}) = \overset{⃑}{0}$ 式(1-52)

従って式(1-51)は以下の様になる。

$\overset{⃑}{\nabla} (\overset{⃑}{M} ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) = (\overset{⃑}{M} ∙ \overset{⃑}{\nabla}) \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}$ 式(1-53)

よって式(1-41)の2項目の積分は

$- \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \{\overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \overset{⃑}{\nabla}\} \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} {d V}^{'} = - \overset{⃑}{\nabla} \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} (\overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}}) {d V}^{'}$ 式(1-54)

ここで積分の中を考えると

$\overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} = \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \frac{\overset{⃑}{r} - \overset{⃑}{r'}}{{|\overset{⃑}{r} - \overset{⃑}{r'}|}^{3}} = \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \overset{⃑}{\nabla}' (\frac{1}{R})$ 式(1-54')

ここで、 $\overset{⃑}{\nabla}'$ は、 $x,^{'}, y^{'}, z'$ に関する微分演算子である事に注意する事。

${\overset{⃑}{\nabla}}^{'} = \frac{\partial}{\partial x'} \overset{⃑}{e_{x}} + \frac{\partial}{\partial y'} \overset{⃑}{e_{y}} + \frac{\partial}{\partial z'} \overset{⃑}{e_{z}}$ 式(1-55)

更に

${\overset{⃑}{\nabla}}^{'} ∙ \frac{\overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z')}{R} = \frac{1}{R} {\overset{⃑}{\nabla}}^{'} ∙ \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') + \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ {\overset{⃑}{\nabla}}^{'} (\frac{1}{R})$ 式(1-56)

であるので式(1-54)は

$- \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \{\overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \overset{⃑}{\nabla}\} \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} {d V}^{'}$

$= - \overset{⃑}{\nabla} \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} ({\overset{⃑}{\nabla}}^{'} ∙ \frac{\overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z')}{R} - \frac{1}{R} {\overset{⃑}{\nabla}}^{'} ∙ \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z')) {d V}^{'}$ 式(1-57)

積分の一項目にベクトル演算の公式(1-45)を用いると式(1-56)は

$- \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \{\overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \overset{⃑}{\nabla}\} \overset{⃑}{\frac{R}{R^{3}}} {d V}^{'}$

$= - \overset{⃑}{\nabla} \frac{μ_{0}}{4 π} \iint_{S_{0}}^{} \frac{\overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \overset{⃑}{n}}{R} {d A}^{'} + \overset{⃑}{\nabla} \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \frac{{\overset{⃑}{\nabla}}^{'} ∙ \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z')}{R} {d V}^{'}$ 式(1-58)

と表す事ができ、ここで、磁極密度

$ρ_{M} (x^{'}, y^{'}, z') \equiv - {\overset{⃑}{\nabla}}^{'} ∙ \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z')$ 式(1-59)

及び表面磁極密度

$σ_{M} (x^{'}, y^{'}, z') \equiv \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') ∙ \overset{⃑}{n}$ 式(1-60)

を定義すると、式(1-41)は

$\overset{⃑}{B} (x, y, z) = \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \overset{⃑}{\nabla} \times \{\frac{1}{R^{3}} \overset{⃑}{M} (x^{'}, y^{'}, z') \times \overset{⃑}{R}\} d V'$

$= - \overset{⃑}{\nabla} \frac{μ_{0}}{4 π} \iint_{S_{0}}^{} \frac{σ_{M} (x^{'}, y^{'}, z')}{R} {d A}^{'} - \overset{⃑}{\nabla} \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} \frac{ρ_{M} (x^{'}, y^{'}, z')}{R} {d V}^{'} ＋ μ_{0} \overset{⃑}{M} (x, y, z)$

$= \frac{μ_{0}}{4 π} \iint_{S_{0}}^{} σ_{M} (x^{'}, y^{'}, z') \frac{\overset{⃑}{R}}{R^{3}} {d A}^{'} + \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V_{0}}^{} ρ_{M} (x^{'}, y^{'}, z') \frac{\overset{⃑}{R}}{R^{3}} {d V}^{'} ＋ μ_{0} \overset{⃑}{M} (x, y, z)$ 式(1-61)

と表す事ができた。

ここで一項目は磁性体の表面の磁極密度からの磁場への寄与を表し、2項目は磁性体内部の磁極密度からの磁場への寄与を表し、3項目は磁性体の磁化を表す。3項目は、点(x,y,z)　が磁性体の外部で真空であれば、ゼロとなる。

Publication Date：16May2015 　　　　updated：27Jan2018
Author：Nobuo Kojima
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