§１２．全体座標系と固有座標系

２）行列形式での表記

以下4次元ベクトルを以下の様に定義する。

P0=(X0 ,Y0 , Z0 , 1)　,　 P0'=(X0' ,Y0' , Z0' , 1)　,

P0''=(X0'' ,Y0'' , Z0'' , 1) ,　 P0'''=(X0''' ,Y0''' , Z0''' , 1) 式(12-22)

ここで、P0, P0' , P0'', P0''' は 夫々点PのXYZ 座標、X軸の周りに θx 回転させた　X', Y', Z'　座標系、Y’軸の周りにθy 回転させた　X", Y", Z"　座標系、Z’’軸の周りに θz　回転させた　X"', Y'", Z"'　座標系での点Pの各成分を表すものとする。 更にX、Y、Z軸のまわりの回転を表す行列を

Rxθx = 1000 0cosθx-sinθx0 0sinθxcosθx0 0001 Ryθy = cosθy0sinθy0 0100 -sinθy0cosθy0 0001 Rzθz = cosθz-sinθz00 sinθzcosθz00 0010 0001 式(12-23)

と定義すると式（12-4)は行列表記で

(X0' ,Y0' , Z0 ', 1)=(X0 ,Y0 , Z0 , 1)1000 0cosθxsinθx0 0-sinθxcosθx0 0001 式(12-24)

ベクトルと行列記号で表せば

P0'= P0 Rx -θx 式(12-25)

また式（12-9)は 行列表記で

(X0'' ,Y0'' , Z0 '', 1)=(X0' ,Y0' , Z0' , 1)cosθy0-sinθy0 0100 sinθy0cosθy0 0001

＝(X0 ,Y0 , Z0 , 1)1000 0cosθxsinθx0 0-sinθxcosθx0 0001 cosθy0-sinθy0 0100 sinθy0cosθy0 0001

＝(X0 ,Y0 , Z0 , 1)cosθysinθxsinθy-cosθxsinθy0 0cosθxsinθx0 sinθy-sinθxcosθycosθxcosθy 0 0001 式(12-26)

式（12-26)をベクトルと行列記号で表せば

P0''= P0' Ry-θy = P0 Rx-θx Ry-θy 式(12-27)

また式（12-17)は行列表記で

(X0''' ,Y0''' , Z0 ''', 1)=(X0'' ,Y0'' , Z0'' , 1)cosθzsinθz00 -sinθzcosθz00 0010 0001

＝(X0 ,Y0 , Z0 , 1)cosθysinθxsinθy-cosθxsinθy0 0cosθxsinθx0 sinθy-sinθxcosθycosθxcosθy 0 0001 cosθzsinθz00 -sinθzcosθz00 0010 0001

=(X0 ,Y0 , Z0 , 1)cosθycosθzsinθxsinθycosθz+cosθxsinθz-cosθxsinθycosθz+sinθxsinθz0 -cosθysinθz-sinθxsinθysinθz+cosθxcosθzcosθxsinθysinθz+sinθxcosθz0 sinθy-sinθxcosθycosθxcosθy 0 0001 式(12-28)

式（12-28)をベクトルと行列記号で表せば

P0'''= P0'' Rz-θz = P0 Rx -θxRy -θyRz-θz 式(12-29)

逆に、

P0'''RzθzRy θyRx θx=P0 Rx -θxRy -θyRz-θzRzθzRy θyRx θx

＝P0 Rx -θxRy -θyRy θyRx θx=P0 Rx -θxRx θx=P0 式(12-30)

ここで以下の式を用いた。

Rz-θz Rzθz= cosθzsinθz00 -sinθzcosθz00 0010 0001 cosθz-sinθz00 sinθzcosθz00 0010 0001 =1000 0100 0010 0001 =E 式(12-31)

Ry-θy Ryθy= cosθy0-sinθy0 0100 sinθy0cosθy0 0001 cosθy0sinθy0 0100 -sinθy0cosθy0 0001 =1000 0100 0010 0001 =E 式(12-32)

Rx-θx Rxθx= 1000 0cosθxsinθx0 0-sinθxcosθx0 0001 1000 0cosθx-sinθx0 0sinθxcosθx0 0001 =1000 0100 0010 0001 =E 式(12-33)

従って

P0=P0'''RzθzRy θyRx θx

=(X0''' ,Y0''' , Z0 ''', 1)cosθz-sinθz00 sinθzcosθz00 0010 0001 cosθy0sinθy0 0100 -sinθy0cosθy0 0001 1000 0cosθx-sinθx0 0sinθxcosθx0 0001

=(X0''' ,Y0''' , Z0 ''', 1)cosθzcosθy-sinθzcosθysinθy0 sinθzcosθz00 -cosθzsinθysinθzsinθycosθy0 0001 1000 0cosθx-sinθx0 0sinθxcosθx0 0001

=(X0''' ,Y0''' , Z0 ''', 1)cosθzcosθy-sinθzcosθysinθy0 sinθzcosθx+cosθzsinθysinθxcosθzcosθx-sinθzsinθysinθx-cosθysinθx0 sinθzsinθx-cosθzsinθycosθxcosθzsinθx+sinθzsinθycosθxcosθycosθx0 0001 式(12-34)

となる。