§3-2 Square Magnet Face(Integral Caluculation)

§３．四角型磁極により作られる磁界

2)積分の実行

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (2 a x + b)}{(4 a c - b^{2}) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(3-7)

$\int \frac{x d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (b x + 2 c)}{(b^{2} - 4 a c) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(3-8)

ここで

$a = 1, b = 0, c_{t} = t^{2} + {Z_{0}}^{2}, c_{u} = u^{2} + {Z_{0}}^{2}$

とおき　x　に関する積分を　t　または　u に関する積分に置き換えて考えると式(3-4`),(3-6`)の　t または　u に関する積分が公式(3-7)、(3-8)を利用して実行できる。

以下先ずHxについて考える。

1)　Hxの計算

式(3-4`)　は　積分公式　式(3-8)　を用いると、t　に関する積分が実行できる。

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Y_{0} - b}^{Y_{0} + b} {[\frac{4 c_{u}}{- 4 c_{u} \sqrt{t^{2} + c_{u}}}]}_{t = X_{0} - a}^{t = X_{0} + a} d u$ $= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Y_{0} - b}^{Y_{0} + b} (\frac{- 1}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + c_{u}}} + \frac{1}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + c_{u}}}) d u$ 式(3-9)

次に　数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \log |2 a x + b + 2 \sqrt{a (a x^{2} + b x + c)}| a > 0 の時$ 式(3-10)

式(3-10)より　u 　に関する積分も実行できて　式(3-9)　は

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Y_{0} - b}^{Y_{0} + b} (\frac{- 1}{\sqrt{u^{2} + {(X_{0} + a)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{u^{2} + {(X_{0} - a)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}) d u$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} {[- \log |2 u + 2 \sqrt{u^{2} + {(X_{0} + a)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}| + \log |2 u + 2 \sqrt{u^{2} + {(X_{0} - a)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}|]}_{Y_{0} - b}^{Y_{0} + b}$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} (\log \frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} - \log \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{{{(X_{0} - a)}^{2} + (Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}})$ 式(3-11)

2)　Hyの計算

次に　式(3-5`)　も同様に積分公式　式(3-8)　を用いると、u　に関する積分を実行し、その後公式　式(3-10)　を用いて　更に　t　に関する積分を行う。

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{X_{0} - a}^{X_{0} + a} {[\frac{4 c_{t}}{- 4 c_{t} \sqrt{u^{2} + c_{t}}}]}_{u = Y_{0} - b}^{u = Y_{0} + b} d t$
$＝ \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{X_{0} - a}^{X_{0} + a} (\frac{- 1}{\sqrt{{(Y_{0} + b)}^{2} + c_{t}}} + \frac{1}{\sqrt{{(Y_{0} - b)}^{2} + c_{t}}}) d t$
$＝ \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{X_{0} - a}^{X_{0} + a} (\frac{- 1}{\sqrt{t^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{t^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}) d t$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} {[- \log |2 t + 2 \sqrt{t^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}| + \log |2 t + 2 \sqrt{t^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}|]}_{X_{0} - a}^{X_{0} + a}$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} (\log \frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} - \log \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{{{(X_{0} - a)}^{2} + (Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{{(X_{0} - a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{{{(X_{0} - a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{{(X_{0} - a)}^{2} + (Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}})$ 式(3-12)

3)　Hzの計算

同様に式(3-6`)　は　積分公式　式(3-7)　を用いると、u　に関する積分が実行できる。

$H_{Z} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{X_{0} - a}^{X_{0} + a} {[\frac{4 u Z_{0}}{4 c_{t} \sqrt{u^{2} + c_{t}}}]}_{{u = Y}_{0} - b}^{u = Y_{0} + b} d t$ 式(3-12)

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{X_{0} - a}^{X_{0} + a} (\frac{Y_{0} + b}{(t^{2} + {Z_{0}}^{2}) \sqrt{t^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} - \frac{Y_{0} - b}{(t^{2} + {Z_{0}}^{2}) \sqrt{t^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}) Z_{0} d t$ 式(3-13)

次に　数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{(x^{2} + p^{2}) \sqrt{a x^{2} + c}} = \frac{1}{p \sqrt{c - a p^{2}}} \tan^{- 1} (\frac{x}{p} \sqrt{\frac{c - a p^{2}}{a x^{2} + c}}) c > a p^{2} の時$ 式(3-14)

ここで ${p = Z}_{0}, a = 1, c_{+} = {(Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}, c_{-} = {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}$ とおき、xに関する積分をtに関する積分に置き換えて考えると式(3-13)　の t　に関する積分を実行する事ができ

$H z = \frac{B r Z_{0}}{4 π μ_{0}} {[\frac{Y_{0} + b}{p \sqrt{c_{+} - p^{2}}} \tan^{- 1} (\frac{t}{p} \sqrt{\frac{c_{+} - p^{2}}{t^{2} + c_{+}}}) - \frac{Y_{0} - b}{p \sqrt{c_{-} - p^{2}}} \tan^{- 1} (\frac{t}{p} \sqrt{\frac{c_{-} - p^{2}}{t^{2} + c_{-}}})]}_{X_{0} - a}^{X_{0} + a}$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} {[\frac{Y_{0} + b}{|Y_{0} + b|} \tan^{- 1} (\frac{t}{p} \frac{|Y_{0} + b|}{\sqrt{t^{2} + c_{+}}}) - \frac{Y_{0} - b}{|Y_{0} - b|} \tan^{- 1} (\frac{t}{p} \frac{|Y_{0} - b|}{\sqrt{t^{2} + c_{-}}})]}_{X_{0} - a}^{X_{0} + a}$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \{\tan^{- 1} (\frac{1}{Z_{0}} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}) - \tan^{- 1} (\frac{1}{Z_{0}} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}})\}$
$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \{\tan^{- 1} (\frac{1}{Z_{0}} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}) - \tan^{- 1} (\frac{1}{Z_{0}} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}})\}$ 式(3-15)

となる。

Publication Date：16May2015 　　　　updated：28Jan2018
Author：Nobuo Kojima
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§３．四角型磁極により作られる磁界

2)積分の実行

1) Hxの計算

2) Hyの計算

3) Hzの計算

1)　Hxの計算

2)　Hyの計算

3)　Hzの計算