§5　円形磁極　2)積分の実行

§５．円形磁極により作られる磁界

2)積分の実行

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (2 a x + b)}{(4 a c - b^{2}) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(5-9)

$\int \frac{x d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (b x + 2 c)}{(b^{2} - 4 a c) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(5-10)

先ずHxについて考える。式(5-8)で式(5-3)を用い、 $y - Y_{0} = t$ とおきｔの積分に関して上記公式(5-9)を用いると

$H_{x} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} (\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} \frac{X_{0} － x}{{\sqrt{({X_{0} － x)}^{2} + {{(Y}_{0} － y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}^{3}} d y) d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} (\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}} \frac{１}{{\sqrt{t^{2} + ({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}^{3}} d t) (X_{0} － x) d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} {[\frac{t}{\{({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}\}} \frac{１}{\sqrt{t^{2} + ({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}]}_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}} (X_{0} － x) d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} \{\frac{\sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}{\{({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}\}} \frac{１}{\sqrt{{(\sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0})}^{2} + {{(X}_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}$

$- \frac{- \sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}{\{({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}\}} \frac{１}{\sqrt{{(\sqrt{R^{2} - x^{2}} + Y_{0})}^{2} + {{(X}_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}\} (X_{0} － x) d x$ 式(5-11)

次にHyについて考える。式(5-8)で式(5-3)を用い、 $y - Y_{0} = t$ とおき　ｔ　の積分に関して上記公式(5-10)を用いると

$H_{y} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} (\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} \frac{Y_{0} － y}{{\sqrt{{{(X}_{0} － x)}^{2} + {{(Y}_{0} － y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}^{3}} d y) d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} (\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}} \frac{- t}{{\sqrt{t^{2} + ({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}^{3}} d t) d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} {[\frac{1}{\sqrt{t^{2} + ({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}]}_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} (\frac{1}{\sqrt{{(\sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0})}^{2} + {{(X}_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{{(\sqrt{R^{2} - x^{2}} + Y_{0})}^{2} + {{(X}_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}})$ 式(5-12)

同様にHzについて考える。式(5-8)で式(5-3)を用い、 $y - Y_{0} = t$ とおきｔの積分に関して上記公式(5-9)を用いると

$H_{z} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} (\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} \frac{Z_{0}}{{\sqrt{{{(X}_{0} － x)}^{2} + {{(Y}_{0} － y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}^{3}} d y) d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- R}^{R} (\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}} \frac{１}{{\sqrt{t^{2} + ({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}^{3}} d t) Z_{0} d x$

$- \frac{- \sqrt{R^{2} - x^{2}} - Y_{0}}{\{({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}\}} \frac{１}{\sqrt{{(\sqrt{R^{2} - x^{2}} + Y_{0})}^{2} + {{(X}_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}\} Z_{0} d x$ 式(5-13)

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