§７．弓形磁極により作られる磁界 2)積分の実行

§７．弓形磁極により作られる磁界

2)積分の実行

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (2 a x + b)}{(4 a c - b^{2}) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(7-7)

$\int \frac{x d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (b x + 2 c)}{(b^{2} - 4 a c) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(7-8)

ここで

$a = 1, b = 0, c = {{(Y}_{0} － R \cos θ)}^{2} + {{(Z}_{0} － R \sin θ)}^{2}$ 式(7-8)

とおき、　x　に関する積分を　t　に関する積分に置き換えて考えると式(7-4`)～(7-6`)の　t　に関する積分が公式(7-7)、(7-8)を利用して実行できる。

以下先ずHxについて考える。

1)　Hxの計算

式(7-4`)　は　積分公式　式(7-8)　を用いると、t　に関する積分が実行できる。

$H x = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ d θ \int_{X_{0} - L}^{X_{0} + L} \frac{t}{{(t^{2} + c)}^{3 / 2}} d t$

$= \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ d θ {[\frac{4 c}{- 4 c \sqrt{t^{2} + c}}]}_{X_{0} - L}^{X_{0} + L}$

$= \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (\frac{- 1}{\sqrt{{(X_{0} + L)}^{2} + c}} + \frac{1}{\sqrt{{(X_{0} - L)}^{2} + c}}) d θ$ 式(7-9)

2)　Hyの計算

次に　式(7-5`)　は　積分公式　式(7-7)　を用いると、t　に関する積分が実行できる。

$H_{y} = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (Y_{0} - R \cos θ) d θ \int_{X_{0} - L}^{X_{0} + L} \frac{1}{{(t^{2} + c)}^{3 / 2}} d t$

$= \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (Y_{0} - R \cos θ) d θ {[\frac{4 t}{4 c \sqrt{t^{2} + c}}]}_{X_{0} - L}^{X_{0} + L}$

$= \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (Y_{0} - R \cos θ) (\frac{X_{0} + L}{c \sqrt{{(X_{0} + L)}^{2} + c}} - \frac{X_{0} - L}{c \sqrt{{(X_{0} - L)}^{2} + c}}) d θ$ 式(7-10)

3)　Hzの計算

同様に式(7-6`)　は　積分公式　式(7-7)　を用いると、t　に関する積分が実行できる。

$H_{z} = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (Z_{0} - R \sin θ) d θ \int_{X_{0} - L}^{X_{0} + L} \frac{1}{{(t^{2} + c)}^{3 / 2}} d t$

$= \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (Z_{0} - R \sin θ) d θ {[\frac{4 t}{4 c \sqrt{t^{2} + c}}]}_{X_{0} - L}^{X_{0} + L}$

$= \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (Z_{0} - R \sin θ) (\frac{X_{0} + L}{c \sqrt{{(X_{0} + L)}^{2} + c}} - \frac{X_{0} - L}{c \sqrt{{(X_{0} - L)}^{2} + c}}) d θ$ 式(7-11)

--------磁石専用磁場計算アプリケーション(Kojimag)に興味がある方はこちらへ--------

このサイトの基礎計算式を基に磁石専用アプリケーションを開発しました。
こちらから”磁石専用磁場計算アプリケーション(Kojimag)”からKojimagの詳細について確認できます。