§１０．直線円柱ワイヤーに流れる電流要素により作られる磁界 1)磁界の表式

§１０．直線円柱ワイヤーに流れる電流により作られる磁界

1)磁界の表式

直線円柱導線に流れる電流により作られる磁場

Fig.16に示したように固有座標系　X-Y-Z おいて外径がR、X軸に沿って座標が－L/2からL/2まで伸びた導線に電流密度　i　の電流が　X軸の正の方向に流れているとした時に、点 $Ｐ_{0}$ （ $Ｘ_{０}$ , $Ｙ_{０}$ , $Ｚ_{０}$ ）に作られる磁界を表式化する。直線円柱導線内の微小電流要素はFig.16に示したようにX方向の円柱座標系で位置（ｒ, θ , x ）に大きさ（dr, dθ ,dx ) の微小広がりで定義されているものとする。

この微小電流要素が点 $P_{0}$ に作る磁界はビオサバールの法則により

$\overset{⃑}{d H} = \frac{1}{4 π} \frac{i ∙ d r ∙ d x ∙ (r d θ {\overset{⃑}{e}}_{x}) \times \overset{⃑}{r'}}{{r'}^{3}}$ 式(10-1)

ここで　 ${\overset{⃑}{e}}_{x}$ はX軸方向の単位ベクトル、 $\overset{⃑}{r'}$ は微小要素から点 $Ｐ_{0}$ までのベクトルで、X－Y－Z 座標系で

${\overset{⃑}{e}}_{x}$ ＝ $(1, 0, 0)$ , 　 $\overset{⃑}{r'} ＝ (X_{0} - x, Y_{0} - r \cos θ, Z_{0} - r \sin θ)$ 式(10-2)

と表される。従って、 ${\overset{⃑}{e}}_{x}$ と $\overset{⃑}{r'}$ の外積は

${\overset{⃑}{e}}_{x} \times \overset{⃑}{r'} = (0, - (Z_{0} - r \sin θ), Y_{0} - r \cos θ)$

となるので

$\overset{⃑}{d H} = \frac{1}{4 π} \frac{i ∙ d r ∙ d x ∙ (r d θ {\overset{⃑}{e}}_{x}) \times \overset{⃑}{r^{'}}}{{r^{'}}^{3}}$

$= \frac{1}{4 π} \frac{i ∙ d r ∙ d x ∙ r d θ}{{r^{'}}^{3}} \{- (Z_{0} - r \sin θ) {\overset{⃑}{e}}_{y} + (Y_{0} - r \cos θ) {\overset{⃑}{e}}_{z}\}$ 式(10-3)

ここで ${\overset{⃑}{e}}_{y}$ ,　 ${\overset{⃑}{e}}_{z}$ 　はY軸、Z軸方向の単位ベクトルとする。　従って直線円柱ワイヤーに流れる電流全体からの寄与は全ての範囲に渡って積分すればよく

$\begin{matrix} H_{x} ＝ 0 \\ H_{y} ＝ - \frac{i}{4 π} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} d x \int_{0}^{R} d r \int_{0}^{2 π} d θ \frac{r}{{r^{'}}^{3}} (Z_{0} - r \sin θ) \\ H_{z} ＝ \frac{i}{4 π} \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} d x \int_{0}^{R} d r \int_{0}^{2 π} d θ \frac{r}{{r^{'}}^{3}} (Y_{0} - r \cos θ) \end{matrix}\}$ 式(10-4)

ここで

$r^{'} = \sqrt{{(X_{0} - x)}^{2} + (Y_{0} - r \cos {θ)}^{2} + {(Z_{0} - r \sin θ)}^{2}}$ 式(10-5)

とおいた。

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