§１０．直線円柱ワイヤー電流による磁界 2)積分の実行

§１０．直線円柱ワイヤー電流による磁界

2)積分の実行

１）Hyの計算

式(10-4)において

$\begin{matrix} C ＝ (Y_{0} - r \cos {θ)}^{2} + {(Z_{0} - r \sin θ)}^{2} \\ t = x {- X}_{0} \end{matrix}\}$ 式(10-6)

と置きxに関する積分をtに関する積分に置き換えるとHyは

$H_{y} ＝ - \frac{i}{4 π} \int_{0}^{R} r d r \int_{0}^{2 π} (Z_{0} - r \sin θ) d θ \int_{- \frac{L}{2} - X_{0}}^{\frac{L}{2} - X_{0}} d t \frac{1}{{(t^{2} + C)}^{3 / 2}}$ 式(10-7)

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (2 a x + b)}{(4 a c - b^{2}) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(10-8)

式(10-8) でa→1,　 b→0　x→t　と考えれば、式(10-7)　のtに関する積分が計算でき

$H_{y} ＝ - \frac{i}{4 π} \int_{0}^{R} r d r \int_{0}^{2 π} (Z_{0} - r \sin θ) d θ {[\frac{t}{C \sqrt{t^{2} + C}}]}_{- \frac{L}{2} - X_{0}}^{\frac{L}{2} - X_{0}}$

$= - \frac{i}{4 π} \int_{0}^{R} r d r \int_{0}^{2 π} (Z_{0} - r \sin θ) d θ \{\frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{C \sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + C}} + \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{C \sqrt{{(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2} + C}}\}$ 式(10-9)

ここで、式(10-6)　の上の式の右辺を展開して整理すると

$C ＝ r^{2} - 2 (Y_{0} \cos θ ＋ Z_{0} \sin θ) r + {Y_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}$

$= {\{r - (Y_{0} \cos θ ＋ Z_{0} \sin θ)\}}^{2} + {(Y_{0} \sin θ - Z_{0} \cos θ)}^{2}$

$= {(r - a)}^{2} + b^{2}$ 式(10-10)

但しa, b を以下の様に置いた。

$\begin{matrix} a = Y_{0} \cos θ ＋ Z_{0} \sin θ \\ b = Y_{0} \sin θ - Z_{0} \cos θ \end{matrix}\}$ 式(10-11)

従って　式(10-9)の積分は r-a=s　と置き　rの積分をSの積分に置き換えると　

$H_{y} ＝ - \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{R} d r [\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) (Z_{0} - r \sin θ) r}{\{{(r - a)}^{2} + b^{2}\} \sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + {(r - a)}^{2} + b^{2}}} + \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) (Z_{0} - r \sin θ) r}{\{{(r - a)}^{2} + b^{2}\} \sqrt{{(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2} + {(r - a)}^{2} + b^{2}}}]$

$= - \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \int_{- a}^{R - a} d s [\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) \{Z_{0} - (s + a) \sin θ\} (s + a)}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{{s^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}} + \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) \{Z_{0} - (s + a) \sin θ\} (s + a)}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}]$

$= - \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \int_{- a}^{R - a} d s [\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) \{{- s}^{2} \sin θ + (Z_{0} - 2 asin θ) s - a^{2} \sin θ\}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{{s^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}}$

$+ \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) \{{- s}^{2} \sin θ + (Z_{0} - 2 asin θ) s - a^{2} \sin θ\}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}]$ 式(10-12)

ここで数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の2つの不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{(x^{2} + p^{2}) \sqrt{a x^{2} + c}} = \{\begin{matrix} \frac{1}{p \sqrt{c - a p^{2}}} \tan^{- 1} (\frac{x}{p} \sqrt{\frac{c - a p^{2}}{{a ｘ}^{2} + c}}) [c > a p^{2}] \\ \frac{1}{2 p \sqrt{a p^{2} - c}} \log |\frac{x \sqrt{a p^{2} - c} + p \sqrt{a x^{2} + c}}{x \sqrt{a p^{2} - c} - p \sqrt{a x^{2} + c}}| [c < a p^{2}] \\ \frac{x}{\sqrt{a} p^{2} \sqrt{x^{2} + p^{2}}} [c = a p^{2}] \end{matrix}$ 式(10-13)

$\int \frac{x d x}{(x^{2} + p^{2}) \sqrt{a x^{2} + c}} = \{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{a p^{2} - c}} \tan^{- 1} (\sqrt{\frac{{a x}^{2} + c}{a p^{2} - c}}) [a p^{2} > c] \\ \frac{1}{2 \sqrt{c - a p^{2}}} \log |\frac{\sqrt{{a x}^{2} + c} - \sqrt{c - a p^{2}}}{\sqrt{{a x}^{2} + c} + \sqrt{c - a p^{2}}}| [a p^{2} < c] \\ \frac{- 1}{\sqrt{a} \sqrt{x^{2} + p^{2}}} [a p^{2} = c] \end{matrix}$ 式(10-14)

すると、式(10-12)において各項の分子で、sに関して0次と１次の項は積分ができる。

このSに関して0次と１次の項は、式(10-13)、式(10-14)でa→1、 ${a p}^{2} \to b^{2} ＜ b^{2} + {(\frac{L}{2} \pm X_{0})}^{2}$ →C の関係が成り立つので夫々上の式と中央の式が適用される。すなわち

$H_{y} ＝ \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} \sin θ d θ \int_{- a}^{R - a} d s \{\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) s^{2}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{{s^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}} + \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) s^{2}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}\}$

$- \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \{{[\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) (Z_{0} - 2 a sin θ)}{2 |\frac{L}{2} - X_{0}|} \log |\frac{\sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} - |\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} + |\frac{L}{2} - X_{0}|}|]}_{- a}^{R - a}$

$+ {[+ \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) (Z_{0} - 2 asin θ)}{2 |\frac{L}{2} + X_{0}|} \log |\frac{\sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} - |\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} + |\frac{L}{2} + X_{0}|}|]}_{- a}^{R - a}\}$

$- \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \{{[\frac{- (\frac{L}{2} - X_{0}) a^{2} \sin θ}{b |\frac{L}{2} - X_{0}|} \tan^{- 1} (\frac{s}{b} \frac{|\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{{s^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}})]}_{- a}^{R - a}$

$+ {[\frac{- (\frac{L}{2} + X_{0}) a^{2} \sin θ}{b |\frac{L}{2} + X_{0}|} \tan^{- 1} (\frac{s}{b} \frac{|\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{{s^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}})]}_{- a}^{R - a}\}$

$＝ \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} \sin θ d θ \int_{- a}^{R - a} d s \{\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) s^{2}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{{s^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}} + \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) s^{2}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}\}$

$- \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \{\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) (Z_{0} - 2 a sin θ)}{2 |\frac{L}{2} - X_{0}|} \log (\frac{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} - |\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} + |\frac{L}{2} - X_{0}|} \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} + |\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} - |\frac{L}{2} - X_{0}|})$

$+ \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) (Z_{0} - 2 a sin θ)}{2 |\frac{L}{2} + X_{0}|} \log (\frac{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} - |\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} + |\frac{L}{2} + X_{0}|} \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} + |\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} - |\frac{L}{2} + X_{0}|})\}$

$- \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ [\frac{- (\frac{L}{2} - X_{0}) a^{2} \sin θ}{b |\frac{L}{2} - X_{0}|} \{\tan^{- 1} (\frac{R - a}{b} \frac{|\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{{{(R - a)}^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}}) - \tan^{- 1} (\frac{- a}{b} \frac{|\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{{a^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}})\}$

$+ \frac{- (\frac{L}{2} + X_{0}) a^{2} \sin θ}{b |\frac{L}{2} + X_{0}|} \{\tan^{- 1} (\frac{R - a}{b} \frac{|\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{{{(R - a)}^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}) - \tan^{- 1} (\frac{- a}{b} \frac{|\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{{a^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}})\}]$

$- \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \frac{(Z_{0} - 2 a sin θ)}{2} \log \{\frac{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} - X_{0})}{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} - X_{0})} \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} - X_{0})}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} - X_{0})}$

$\frac{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} + X_{0})}{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} + X_{0})} \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} + X_{0})}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} + X_{0})}\}$

$+ \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \frac{a^{2} \sin θ}{b} [\tan^{- 1} {\frac{R - a}{b} \frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{\sqrt{{{(R - a)}^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}}} - \tan^{- 1} {\frac{- a}{b} \frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{\sqrt{{a^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}}}$

$+ \tan^{- 1} {\frac{R - a}{b} \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{\sqrt{{{(R - a)}^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}} - \tan^{- 1} {\frac{- a}{b} \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{\sqrt{{a^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}}]$ 式(10-15)

このように、Hyについて、分子がsの2次の積分になっている項を除いて積分の表式化ができた。一項目の分子がsの2次の積分になっている項は有理化ができるが、これは別途示す事にする。

２）Hzの計算

同様にHzについての表式化も $Z_{0} - r \sin θ$ →　 $- (Y_{0} - r \cos θ)$ 　と入れ替えるだけで　Hyと同様であり式(10-9)に対応する式として

$H_{z} ＝ \frac{i}{4 π} \int_{0}^{R} r d r \int_{0}^{2 π} (Y_{0} - r \cos θ) d θ {[\frac{t}{C \sqrt{t^{2} + C}}]}_{- \frac{L}{2} - X_{0}}^{\frac{L}{2} - X_{0}}$

$= \frac{i}{4 π} \int_{0}^{R} r d r \int_{0}^{2 π} (Y_{0} - r \cos θ) d θ \{\frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{C \sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + C}} + \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{C \sqrt{{(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2} + C}}\}$ 式(10-16)

また式(10-12)に対応する式としては

$H_{z} = \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \int_{- a}^{R - a} d s [\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) \{{- s}^{2} \cos θ + (Y_{0} - 2 a cos θ) s - a^{2} \cos θ\}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{{s^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}}$

$+ \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) \{{- s}^{2} \cos θ + (Y_{0} - 2 a cos θ) s - a^{2} \cos θ\}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}]$ 式(10-17)

となる。Hyと同様にsに関して0次及び1次の項は積分の表式化ができ、式(10-15)に相当する式として

$H_{z} ＝ - \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} \cos θ d θ \int_{- a}^{R - a} d s \{\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) s^{2}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{{s^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}} + \frac{(\frac{L}{2} + X_{0}) s^{2}}{(s^{2} + b^{2}) \sqrt{s^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2}}}\}$

$+ \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \frac{(Z_{0} - 2 a cos θ)}{2} \log \{\frac{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} - X_{0})}{\sqrt{{(R - a)}^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} - X_{0})} \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} - X_{0})}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} - X_{0})}$

$- \frac{i}{4 π} \int_{0}^{2 π} d θ \frac{a^{2} \cos θ}{b} [\tan^{- 1} {\frac{R - a}{b} \frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{\sqrt{{{(R - a)}^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}}} - \tan^{- 1} {\frac{- a}{b} \frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{\sqrt{{a^{2} + b^{2} + (\frac{L}{2} - X_{0})}^{2}}}}$

と表せる。

--------磁石専用磁場計算アプリケーション(Kojimag)に興味がある方はこちらへ--------

このサイトの基礎計算式を基に磁石専用アプリケーションを開発しました。
こちらから”磁石専用磁場計算アプリケーション(Kojimag)”からKojimagの詳細について確認できます。