§１２．全体座標系と固有座標系２）行列形式での表記

§１２．全体座標系と固有座標系

２）行列形式での表記

以下4次元ベクトルを以下の様に定義する。

$P_{0} = (X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, 1)$ 　,　 $P_{0}' = (X_{0}', Y_{0}', Z_{0}', 1)$ 　,

$P_{0}'' = (X_{0}^{''}, Y_{0}'', Z_{0}'', 1)$ ,　 $P_{0}''' = (X_{0}^{'''}, Y_{0}''', Z_{0}''', 1)$ 式(12-22)

ここで、 $P_{0}, P_{0}^{'}, P_{0}^{''}, P_{0}'''$ は夫々点PのXYZ 座標、X軸の周りに $θ_{x}$ 回転させた　 $X^{'}, Y^{'}, Z^{'}$ 　座標系、Y’軸の周りに $θ_{y}$ 回転させた　 $X ", Y ", Z "$ 　座標系、Z’’軸の周りに $θ_{z}$ 　回転させた　 $X "', Y'", Z "'$ 　座標系での点Pの各成分を表すものとする。更にX、Y、Z軸のまわりの回転を表す行列を

$\begin{matrix} R_{x} (θ_{x}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {c o s θ}_{x} \\ {- s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \\ R_{y} (θ_{y}) = (\begin{matrix} {c o s θ}_{y} \\ 0 \\ {s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {- s i n θ}_{y} \\ 0 \\ {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \\ R_{z} (θ_{z}) = (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} \\ {- s i n θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} \\ {c o s θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}\}$ 式(12-23)

と定義すると式（12-4)は行列表記で

$(X_{0}', Y_{0}', Z_{0}', 1) = (X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, 1) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {c o s θ}_{x} \\ {s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {- s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ 式(12-24)

ベクトルと行列記号で表せば

${P_{0}}^{'} = P_{0} R_{x} (- θ_{x})$ 式(12-25)

また式（12-9)は行列表記で

$(X_{0}'', Y_{0}'', Z_{0}'', 1) = (X_{0}', Y_{0}', Z_{0}', 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{y} \\ 0 \\ {- s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{y} \\ 0 \\ {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$＝ (X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, 1) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {c o s θ}_{x} \\ {s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {- s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} {c o s θ}_{y} \\ 0 \\ {- s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{y} \\ 0 \\ {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

式（12-26)をベクトルと行列記号で表せば

$P_{0}^{''} = P_{0}^{'} R_{y} (- θ_{y}) = P_{0} R_{x} (- θ_{x}) R_{y} ({- θ}_{y})$ 式(12-27)

また式（12-17)は行列表記で

$(X_{0}''', Y_{0}''', Z_{0}''', 1) = (X_{0}'', Y_{0}'', Z_{0}'', 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} \\ {s i n θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {- s i n θ}_{z} \\ {c o s θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$＝ (X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{y} \\ {{s i n θ}_{x} s i n θ}_{y} \\ {- {c o s θ}_{x} s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {c o s θ}_{x} \\ {s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{y} \\ {- {s i n θ}_{x} c o s θ}_{y} \\ {c o s θ}_{x} {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} \\ {s i n θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {- s i n θ}_{z} \\ {c o s θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$= (X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{y} {c o s θ}_{z} \\ {{s i n θ}_{x} s i n θ}_{y} {c o s θ}_{z} + {c o s θ}_{x} {s i n θ}_{z} \\ {- {c o s θ}_{x} s i n θ}_{y} {c o s θ}_{z} + {s i n θ}_{x} {s i n θ}_{z} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {- c o s θ}_{y} {s i n θ}_{z} \\ {- {{s i n θ}_{x} s i n θ}_{y} {s i n θ}_{z} + c o s θ}_{x} {c o s θ}_{z} \\ {{c o s θ}_{x} s i n θ}_{y} {{s i n θ}_{z} + s i n θ}_{x} {c o s θ}_{z} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{y} \\ {- {s i n θ}_{x} c o s θ}_{y} \\ {c o s θ}_{x} {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ 式(12-28)

式（12-28)をベクトルと行列記号で表せば

$P_{0}^{'''} = P_{0}^{''} R_{z} (- θ_{z}) = P_{0} R_{x} ({- θ}_{x}) R_{y} (- θ_{y}) R_{z} ({- θ}_{z})$ 式(12-29)

逆に、

$P_{0}^{'''} R_{z} (θ_{z}) R_{y} (θ_{y}) R_{x} (θ_{x}) = P_{0} R_{x} ({- θ}_{x}) R_{y} ({- θ}_{y}) \{R_{z} (- θ_{z}) R_{z} (θ_{z})\} R_{y} (θ_{y}) R_{x} (θ_{x})$

$＝ P_{0} R_{x} (- θ_{x}) \{R_{y} (- θ_{y}) R_{y} (θ_{y})\} R_{x} (θ_{x}) = P_{0} R_{x} ({- θ}_{x}) R_{x} (θ_{x}) = P_{0}$ 式(12-30)

ここで以下の式を用いた。

$R_{z} (- θ_{z}) R_{z} (θ_{z}) = (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} \\ {s i n θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {- s i n θ}_{z} \\ {c o s θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} \\ {- s i n θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} \\ {c o s θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = E$ 式(12-31)

$R_{y} ({- θ}_{y}) R_{y} (θ_{y}) = (\begin{matrix} {c o s θ}_{y} \\ 0 \\ {- s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{y} \\ 0 \\ {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} {c o s θ}_{y} \\ 0 \\ {s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {- s i n θ}_{y} \\ 0 \\ {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = E$ 式(12-32)

$R_{x} ({- θ}_{x}) R_{x} (θ_{x}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {c o s θ}_{x} \\ {s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ - {s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {c o s θ}_{x} \\ {- s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = E$ 式(12-33)

従って

$P_{0} = P_{0}^{'''} R_{z} (θ_{z}) R_{y} (θ_{y}) R_{x} (θ_{x})$

$= (X_{0}''', Y_{0}''', Z_{0}''', 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} \\ {- s i n θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} \\ {c o s θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} {c o s θ}_{y} \\ 0 \\ {s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {- s i n θ}_{y} \\ 0 \\ {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {c o s θ}_{x} \\ {- s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$= (X_{0}''', Y_{0}''', Z_{0}''', 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} {c o s θ}_{y} \\ {- s i n θ}_{z} {c o s θ}_{y} \\ {s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} \\ {c o s θ}_{z} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {- c o s θ}_{z} {s i n θ}_{y} \\ {s i n θ}_{z} {s i n θ}_{y} \\ {c o s θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {c o s θ}_{x} \\ {- s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ {s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$= (X_{0}''', Y_{0}''', Z_{0}''', 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} {c o s θ}_{y} \\ {- s i n θ}_{z} {c o s θ}_{y} \\ {s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} {c o s θ}_{x} {+ c o s θ}_{z} {s i n θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{z} {c o s θ}_{x} {- s i n θ}_{z} {s i n θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ - {c o s θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} {s i n θ}_{x} {- c o s θ}_{z} {s i n θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ {c o s θ}_{z} {s i n θ}_{x} + {s i n θ}_{z} {s i n θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ {c o s θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ 式(12-34)

となる。

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