§１２．全体座標系と固有座標系４）座標系の回転と平行移動

§１２．全体座標系と固有座標系

４）座標系の回転と平行移動（全体座標系と固有座標系）

４－１．ベクトル形式での考察

X,Y,Z軸の周りの座標系の回転と平行移動

全体座標系 $O (X_{0}, Y_{0}, Z_{0})$ 　と、そのＸ，Ｙ，Ｚ軸の周りに $θ_{x},$ $θ_{y},$ $θ_{z}$ 回転させ、 $(x, y, z)$ 　平行移動させたローカル座標系　 $O_{L} (X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L} ）$ の関係を調べる。Fig.22に $O$ と $O_{L}$ の関係を図示した。

原点を　 $(x, y, z)$ 　に平行移動した座標系 $X t Y t Z t$ 　の座標軸の単位ベクトル $\overset{⃑}{e_{x_{t}}}, \overset{⃑}{e_{y_{t}}}, \overset{⃑}{e_{z_{t}}}$ 　は

$\begin{matrix} \overset{⃑}{e_{x_{t}}} = \overset{⃑}{e_{x}} \\ \overset{⃑}{e_{y_{t}}} = \overset{⃑}{e_{y}} \\ \overset{⃑}{e_{z_{t}}} = \overset{⃑}{e_{z}} \end{matrix}\}$ 式(12-38)

が成り立ち、同様にＸ，Ｙ，Ｚ軸の周りに $θ_{x},$ 　 $θ_{y},$ $θ_{z}$ 　回転後の単位ベクトル $\overset{⃑}{e_{x'''}}, \overset{⃑}{e_{y'''}}, \overset{⃑}{e_{z'''}}$ 　はローカル座標系　 $O_{L}$ 　の単位ベクトル $\overset{⃑}{e_{x_{L}}}, \overset{⃑}{e_{y_{L}}}, \overset{⃑}{e_{z_{L}}}$ 　と

$\begin{matrix} \overset{⃑}{e_{x_{L}}} = \overset{⃑}{e_{x'''}} \\ \overset{⃑}{e_{y_{L}}} = \overset{⃑}{e_{y'''}} \\ \overset{⃑}{e_{z_{L}}} = \overset{⃑}{e_{z'''}} \end{matrix}\}$ 式(12-39)

の関係が成り立つ。

従ってローカル座標系　 $O_{L}$ で　 $(X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L})$ 　で現わされる点は全体座標系 O では　

$\overset{⃑}{O P} = X_{0} \overset{⃑}{e_{x}} + Y_{0} \overset{⃑}{e_{y}} + Z_{0} \overset{⃑}{e_{z}} = \overset{⃑}{O O_{L}} + \overset{⃑}{O_{L} P}$

$= (x \overset{⃑}{e_{x}} + y \overset{⃑}{e_{y}} + z \overset{⃑}{e_{z}}) ＋ (X_{0 L} \overset{⃑}{e_{x'''}} + Y_{0 L} \overset{⃑}{e_{y'''}} + Z_{0 L} \overset{⃑}{e_{z'''}})$ 式(12-40)

式（12-9)を用いて $\overset{⃑}{e_{x'''}}, \overset{⃑}{e_{y'''}}, \overset{⃑}{e_{z'''}}$ 　を　 $\overset{⃑}{e_{x}}, \overset{⃑}{e_{y}}, \overset{⃑}{e_{z}}$ 　で現わすと式（12-32)の後半は

$X_{L} \overset{⃑}{e_{x'''}} + Y_{L} \overset{⃑}{e_{y'''}} + Z_{L} \overset{⃑}{e_{z'''}}$

$= X_{0 L} \{\cos θ_{z} \cos θ_{y} \overset{⃑}{e_{x}} + (\cos θ_{z} \sin θ_{y} \sin θ_{x} + \sin θ_{z} \cos θ_{x}) \overset{⃑}{e_{y}}$

$+ (- \cos θ_{z} \sin θ_{y} \cos θ_{x} + \sin θ_{z} \sin θ_{x}) \overset{⃑}{e_{z}}\}$

$+ Y_{0 L} \{- \sin θ_{z} \cos θ_{y} \overset{⃑}{e_{x}} + (- \sin θ_{z} \sin θ_{y} \sin θ_{x} + \cos θ_{z} \cos θ_{x}) \overset{⃑}{e_{y}}$

$+ (\sin θ_{z} \sin θ_{y} \cos θ_{x} + \cos θ_{z} \sin θ_{x}) \overset{⃑}{e_{z}}\}$

$+ Z_{0 L} (\sin θ_{y} \overset{⃑}{e_{x}} - \cos θ_{y} \sin θ_{x} \overset{⃑}{e_{y}} + \cos θ_{y} \cos θ_{x} \overset{⃑}{e_{z}})$

=　 $(X_{0 L} \cos θ_{z} \cos θ_{y} - Y_{0 L} \sin θ_{z} \cos θ_{y} + Z_{0 L} \sin θ_{y}) \overset{⃑}{e_{x}}$

$+ \{X_{0 L} (\cos θ_{z} \sin θ_{y} \sin θ_{x} + \sin θ_{z} \cos θ_{x}) + Y_{0 L} (- \sin θ_{z} \sin θ_{y} \sin θ_{x} + \cos θ_{z} \cos θ_{x}) - Z_{0 L} \cos θ_{y} \sin θ_{x}\} \overset{⃑}{e_{y}}$

$+ \{X_{0 L} (- \cos θ_{z} \sin θ_{y} \cos θ_{x} + \sin θ_{z} \sin θ_{x}) + Y_{0 L} (\sin θ_{z} \sin θ_{y} \cos θ_{x} + \cos θ_{z} \sin θ_{x}) + Z_{0 L} \cos θ_{y} \cos θ_{x}\} \overset{⃑}{e_{z}}$ 式(12-41)

従って式（12-32)　は $\overset{⃑}{e_{x}}, \overset{⃑}{e_{y}}, \overset{⃑}{e_{z}}$ 　で現わす事ができる。 $\overset{⃑}{e_{x}}, \overset{⃑}{e_{y}}, \overset{⃑}{e_{z}}$ 　の各係数を比較して

$\begin{matrix} X_{0} = x + X_{0 L} \cos θ_{z} \cos θ_{y} - Y_{0 L} \sin θ_{z} \cos θ_{y} + Z_{0 L} \sin θ_{y} \\ Y_{0} = y + X_{0 L} (\cos θ_{z} \sin θ_{y} \sin θ_{x} + \sin θ_{z} \cos θ_{x}) + Y_{0 L} (- \sin θ_{z} \sin θ_{y} \sin θ_{x} + \cos θ_{z} \cos θ_{x}) \\ - Z_{0 L} \cos θ_{y} \sin θ_{x} \\ Z_{0} = z + X_{0 L} (- \cos θ_{z} \sin θ_{y} \cos θ_{x} + \sin θ_{z} \sin θ_{x}) + Y_{0 L} (\sin θ_{z} \sin θ_{y} \cos θ_{x} + \cos θ_{z} \sin θ_{x}) \\ + Z_{0 L} \cos θ_{y} \cos θ_{x} \end{matrix}\}$ 式(12-42)

次に逆変換を考える。Fig. 22より

$\overset{⃑}{O_{L} P} = X_{0 L} \overset{⃑}{e_{x_{L}}} + Y_{0 L} \overset{⃑}{e_{y_{L}}} + Z_{0 L} \overset{⃑}{e_{z_{L}}} = (X_{0} - x) \overset{⃑}{e_{x}} + (Y_{0} - y) \overset{⃑}{e_{y}} + (Z_{0} - z) \overset{⃑}{e_{z}}$ 式(12-43)

式（12-11)を用いて、 $\overset{⃑}{e_{x}}, \overset{⃑}{e_{y}}, \overset{⃑}{e_{z}}$ 　を　 $\overset{⃑}{e_{x'''}}, \overset{⃑}{e_{y'''}}, \overset{⃑}{e_{z'''}}$ 　で現わすと

$X_{0 L} \overset{⃑}{e_{x_{L}}} + Y_{0 L} \overset{⃑}{e_{y_{L}}} + Z_{0 L} \overset{⃑}{e_{z_{L}}} = X_{0 L} \overset{⃑}{e_{x'''}} + Y_{0 L} \overset{⃑}{e_{y'''}} + Z_{0 L} \overset{⃑}{e_{z'''}}$

$= (X_{0} - x) \overset{⃑}{e_{x}} + (Y_{0} - y) \overset{⃑}{e_{y}} + (Z_{0} - z) \overset{⃑}{e_{z}}$

$= (X_{0} - x) (\cos θ_{y} \cos θ_{z} \overset{⃑}{e_{x'''}} - \cos θ_{y} \sin θ_{z} \overset{⃑}{e_{y'''}} + \sin θ_{y} \overset{⃑}{e_{z'''}})$

$+ (Y_{0} - y) \{(\cos θ_{x} \sin θ_{z} + \sin θ_{x} \sin θ_{y} \cos θ_{z}) \overset{⃑}{e_{x^{'''}}} + (\cos θ_{x} \cos θ_{z} - \sin θ_{x} \sin θ_{y} \sin θ_{z}) \overset{⃑}{e_{y^{'''}}} - \sin θ_{x} \cos θ_{y} \overset{⃑}{e_{z'''}}\}$

$+ (Z_{0} - z) \{(\sin θ_{x} \sin θ_{z} - \cos θ_{x} \sin θ_{y} \cos θ_{z}) \overset{⃑}{e_{x^{'''}}} + (\sin θ_{x} \cos θ_{z} + \cos θ_{x} \sin θ_{y} \sin θ_{z}) \overset{⃑}{e_{y^{'''}}} + \cos θ_{x} \cos θ_{y} \overset{⃑}{e_{z'''}}\}$

$= \{(X_{0} - x) \cos θ_{y} \cos θ_{z} + (Y_{0} - y) (\cos θ_{x} \sin θ_{z} + \sin θ_{x} \sin θ_{y} \cos θ_{z})$

$+ (Z_{0} - z) (\sin θ_{x} \sin θ_{z} - \cos θ_{x} \sin θ_{y} \cos θ_{z})\} \overset{⃑}{e_{x'''}}$

$+ \{- (X_{0} - x) \cos θ_{y} \sin θ_{z} + (Y_{0} - y) (\cos θ_{x} \cos θ_{z} - \sin θ_{x} \sin θ_{y} \sin θ_{z})$

$+ (Z_{0} - z) (\sin θ_{x} \cos θ_{z} + \cos θ_{x} \sin θ_{y} \sin θ_{z})\} \overset{⃑}{e_{y'''}}$

$+ \{(X_{0} - x) \sin θ_{y} - (Y_{0} - y) \sin θ_{x} \cos θ_{y} + (Z_{0} - z) \cos θ_{x} \cos θ_{y}\} \overset{⃑}{e_{z'''}}$ 式(12-44)

従って

$X_{0 L} = (X_{0} - x) \cos θ_{y} \cos θ_{z} + (Y_{0} - y) (\cos θ_{x} \sin θ_{z} + \sin θ_{x} \sin θ_{y} \cos θ_{z})$

$+ (Z_{0} - z) (\sin θ_{x} \sin θ_{z} - \cos θ_{x} \sin θ_{y} \cos θ_{z})$

$Y_{0 L} = - (X_{0} - x) \cos θ_{y} \sin θ_{z} + (Y_{0} - y) (\cos θ_{x} \cos θ_{z} - \sin θ_{x} \sin θ_{y} \sin θ_{z})$

$+ (Z_{0} - z) (\sin θ_{x} \cos θ_{z} + \cos θ_{x} \sin θ_{y} \sin θ_{z})$

$Z_{0 L} = (X_{0} - x) \sin θ_{y} - (Y_{0} - y) \sin θ_{x} \cos θ_{y} + (Z_{0} - z) \cos θ_{x} \cos θ_{y}$ 式(12-45)

となる。

４－２．行列形式での考察

式(12-42)は行列形式で

$(X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, 1) = (X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L}, 1) R_{z} (θ_{z}) R_{y} (θ_{y}) R_{x} (θ_{x}) T (x, y, z)$ 式(12-46)

と表せる。ここで $T (x, y, z)$ は、平行移動を表す行列で

$T (x, y, z) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ y \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ z \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ 式(12-47)

である。

実際式(12-45)の右辺において式(12-34)を用いると

$(X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L}, 1) R_{z} (θ_{z}) R_{y} (θ_{y}) R_{x} (θ_{x}) T (x, y, z)$

$= (X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L}, 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} {c o s θ}_{y} \\ {- s i n θ}_{z} {c o s θ}_{y} \\ {s i n θ}_{y} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} {c o s θ}_{x} {+ c o s θ}_{z} {s i n θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{z} {c o s θ}_{x} {- s i n θ}_{z} {s i n θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ - {c o s θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} {s i n θ}_{x} {- c o s θ}_{z} {s i n θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ {c o s θ}_{z} {s i n θ}_{x} + {s i n θ}_{z} {s i n θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ {c o s θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ y \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ z \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$= (X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L}, 1) (\begin{matrix} {c o s θ}_{z} {c o s θ}_{y} \\ {- s i n θ}_{z} {c o s θ}_{y} \\ {s i n θ}_{y} \\ x \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} {c o s θ}_{x} {+ c o s θ}_{z} {s i n θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ {c o s θ}_{z} {c o s θ}_{x} {- s i n θ}_{z} {s i n θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ - {c o s θ}_{y} {s i n θ}_{x} \\ y \end{matrix} \begin{matrix} {s i n θ}_{z} {s i n θ}_{x} {- c o s θ}_{z} {s i n θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ {c o s θ}_{z} {s i n θ}_{x} + {s i n θ}_{z} {s i n θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ {c o s θ}_{y} {c o s θ}_{x} \\ z \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$= (x + X_{0 L} \cos θ_{z} \cos θ_{y} - Y_{0 L} \sin θ_{z} \cos θ_{y} + Z_{0 L} \sin θ_{y}, y + X_{0 L} (\cos θ_{z} \sin θ_{y} \sin θ_{x} + \sin θ_{z} \cos θ_{x}) + Y_{0 L} (- \sin θ_{z} \sin θ_{y} \sin θ_{x} + \cos θ_{z} \cos θ_{x}) - Z_{0 L} \cos θ_{y} \sin θ_{x},$ $z + X_{0 L} (- \cos θ_{z} \sin θ_{y} \cos θ_{x} + \sin θ_{z} \sin θ_{x}) + Y_{0 L} (\sin θ_{z} \sin θ_{y} \cos θ_{x} + \cos θ_{z} \sin θ_{x}) + Z_{0 L} \cos θ_{y} \cos θ_{x}, 1)$ 式(12-48)

となり式(12-42)となる事が確認できる。

次に式(12-45)の両辺の右側から ${T (- x, - y, - z) R}_{x} ({- θ}_{x}) R_{y} (- θ_{y}) R_{z} ({- θ}_{z})$ を掛ける。

$T (- x, - y, - z) T (x, y, z) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - x \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - y \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ - z \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ y \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ z \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = E$ 式(12-49)

である事、及び

$R_{x} (θ_{x}) R_{x} (- θ_{x}) = R_{y} (θ_{y}) R_{y} ({- θ}_{y}) = R_{z} (θ_{z}) R_{z} (- θ_{z}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = E$ 式(12-50)

を用いると

$(X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, 1) {T (- x, - y, - z) R}_{x} ({- θ}_{x}) R_{y} (- θ_{y}) R_{z} ({- θ}_{z})$

$= (X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L}, 1) R_{z} (θ_{z}) R_{y} (θ_{y}) R_{x} (θ_{x}) T (x, y, z) {T (- x, - y, - z) R}_{x} ({- θ}_{x}) R_{y} (- θ_{y}) R_{z} ({- θ}_{z})$

$= (X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L}, 1)$ 式(12-51)

すなわち式(12-45)を逆に解くと

$(X_{0 L}, Y_{0 L}, Z_{0 L}, 1) = (X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, 1) {T (- x, - y, - z) R}_{x} ({- θ}_{x}) R_{y} (- θ_{y}) R_{z} ({- θ}_{z})$ 式(12-52)

--------磁石専用磁場計算アプリケーション(Kojimag)に興味がある方はこちらへ--------

このサイトの基礎計算式を基に磁石専用アプリケーションを開発しました。
こちらから”磁石専用磁場計算アプリケーション(Kojimag)”からKojimagの詳細について確認できます。