§１２．全体座標系と固有座標系

５）ベクトル場の座標変換

４－１．ベクトル形式での考察

４）迄は全体座標に固定された点の固有座標から全体座標あるいは、全体座標から固有座標への座標変換について考察したが、ここでは全体座標又は固有座標に於いて定義されたベクトル量の全体座標又は固有座標における成分から固有座標又は全体座標における成分を求める変換式について考察する。

例として磁界ベクトル量　H⃑　を考え、これが固有座標系　OL　で

H⃑=HXLexL⃑+HYLeyL⃑+HZLezL⃑ 式(12-53)

と定義されているとする。

H⃑　は全体座標系で

H⃑=HXex⃑+HYey⃑+HZez⃑ 式(12-54)

と現わされるとする。式（12-39)よりexL⃑ , eyL⃑ , ezL⃑　は夫々ex'''⃑ , ey'''⃑ , ez'''⃑　と等しく式（12-19)よりex'''⃑ , ey'''⃑ , ez'''⃑　をex⃑ , ey⃑ , ez⃑　で現わす事ができるので式（12-53)は

H⃑=HXLexL⃑+HYLeyL⃑+HZLezL⃑

=HXLex'''⃑+HYLey'''⃑+HZLez'''⃑

=HXLcos⁡θzcos⁡θy ex⃑+ cos⁡θz sin⁡θy sin⁡θx+sin⁡θz cos⁡θx ey⃑

+- cos⁡θz sin⁡θy cos⁡θx+sin⁡θz sin⁡θx ez⃑

+HYL-sin⁡θzcos⁡θy ex⃑+-sin⁡θz sin⁡θy sin⁡θx+cos⁡θz cos⁡θx ey⃑

+ sin⁡θz sin⁡θy cos⁡θx+cos⁡θz sin⁡θx ez⃑

+HZL sin⁡θy ex⃑-cos⁡θy sin⁡θxey⃑+cos⁡θy cos⁡θx ez⃑

=HXLcos⁡θzcos⁡θy-HYLsin⁡θzcos⁡θy+HZLsin⁡θyex⃑

+HXL cos⁡θz sin⁡θy sin⁡θx+sin⁡θz cos⁡θx

+HYL-sin⁡θz sin⁡θy sin⁡θx+cos⁡θz cos⁡θx +HZL-cos⁡θy sin⁡θxey⃑

+HXL- cos⁡θz sin⁡θy cos⁡θx+sin⁡θz sin⁡θx

+HYL sin⁡θz sin⁡θy cos⁡θx+cos⁡θz sin⁡θx +HZLcos⁡θy cos⁡θx ez⃑ 式(12-55)

HX= HXLcos⁡θzcos⁡θy-HYLsin⁡θzcos⁡θy+HZLsin⁡θy

HY=HXL cos⁡θz sin⁡θy sin⁡θx+sin⁡θz cos⁡θx

+HYL-sin⁡θz sin⁡θy sin⁡θx+cos⁡θz cos⁡θx +HZL-cos⁡θy sin⁡θx

HZ＝HXL- cos⁡θz sin⁡θy cos⁡θx+sin⁡θz sin⁡θx

+HYL sin⁡θz sin⁡θy cos⁡θx+cos⁡θz sin⁡θx +HZLcos⁡θy cos⁡θx 式(12-56)

逆に全体座標系でHX,HY,HZ　と現わされたベクトルは固有座標系HXL,HYL,HZL　では 式（12-11)および式（12-31)を用いて　　

H⃑=HXex⃑+HYey⃑+HZez⃑

=HXcos⁡θycos⁡θz exL⃑-cos⁡θysin⁡θzeyL⃑ +sin⁡θy ezL⃑

+HYcos⁡θxsin⁡θz+sin⁡θxsin⁡θycos⁡θz exL⃑

+cos⁡θxcos⁡θz-sin⁡θxsin⁡θysin⁡θzeyL⃑-sin⁡θxcos⁡θy ezL⃑

+HZsin⁡θxsin⁡θz-cos⁡θxsin⁡θycos⁡θz exL⃑

+sin⁡θxcos⁡θz+cos⁡θxsin⁡θysin⁡θzeyL⃑+cos⁡θxcos⁡θy ezL⃑

=HXcos⁡θycos⁡θz+HYcos⁡θxsin⁡θz+sin⁡θxsin⁡θycos⁡θz

+HZsin⁡θxsin⁡θz-cos⁡θxsin⁡θycos⁡θz exL⃑

+HX-cos⁡θysin⁡θz+HYcos⁡θxcos⁡θz-sin⁡θxsin⁡θysin⁡θz

+HZsin⁡θxcos⁡θz+cos⁡θxsin⁡θysin⁡θz eyL⃑

+HXsin⁡θy +HY-sin⁡θxcos⁡θy +HZcos⁡θxcos⁡θy ezL⃑ 式(12-57)

よって全体座標系でHX,HY,HZ　と現わされたベクトルは固有座標系HXL,HYL,HZL　で

HXL= HXcos⁡θycos⁡θz+HYcos⁡θxsin⁡θz+sin⁡θxsin⁡θycos⁡θz

+HZsin⁡θxsin⁡θz-cos⁡θxsin⁡θycos⁡θz

HYL=-HXcos⁡θysin⁡θz+HYcos⁡θxcos⁡θz-sin⁡θxsin⁡θysin⁡θz

+HZsin⁡θxcos⁡θz+cos⁡θxsin⁡θysin⁡θz

HZL＝HXsin⁡θy -HYsin⁡θxcos⁡θy +HZcos⁡θxcos⁡θy 式(12-58)

と現わす事ができる。

４－２．行列形式での考察

固有座標系でHXL,HYL,HZL　と現わされたベクトルは全体座標系HX,HY,HZ　で式(12-49)のようにあらわすことができる。式(12-34)を見るとこれは式(12-49)と同じであることがわかる。すなわち

HX, HY, HZ =HXL, HYL, HZLcosθzcosθy-sinθzcosθysinθy0 sinθzcosθx+cosθzsinθysinθxcosθzcosθx-sinθzsinθysinθx-cosθysinθx0 sinθzsinθx-cosθzsinθycosθxcosθzsinθx+sinθzsinθycosθxcosθycosθx0 0001

=HXL, HYL, HZLRzθzRy θyRx θx 式(12-59)

また逆に全体座標系から固有座標系への変換は上式の逆変換を求めればよく、式(12-59) の右側からRx-θxRy -θyRz -θz を掛けてやると

HXL, HYL, HZL=HX, HY, HZRx-θxRy -θyRz -θz 式(12-60)

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