§3　四角型磁極　1)磁界の表式

§３．四角型磁極により作られる磁界

1)磁界の表式

Fig.1で示されたように固有座標径に於いて、X軸方向に‐aからa、Y軸方向に –bからb迄の四角形の磁極面が点 $P_{0} (X_{0}, Y_{0}, Z_{0})$ に作る磁界を計算する。磁極表面の磁化MはZ軸方向を向いているとする。

点（ x , y , 0）に位置し、微小X方向長さdx、微小y方向長さdyを持った微小要素をds　とする。　座標原点O からdsまでのベクトル $\overset{⃑}{r}$ 　及び dsの面積は、

$\overset{⃑}{r} = (x, y, 0), d s = d x d y$ 式(3-1)

となる。また、dsから点 $P_{0}$ 迄を結んだベクトルを $\overset{⃑}{r `}$ とすると、

$\overset{⃑}{r `} = \overset{⃑}{P_{0}} - \overset{⃑}{r `} = (X_{0} - x, Y_{0} - y, Z_{0})$ 式(3-2)

となり、距離　r` は

$r ` = \sqrt{\overset{⃑}{r `} ∙ \overset{⃑}{r `}} = \sqrt{({X_{0} － x)}^{2} + {{(Y}_{0} － y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}$ 式(3-3)

となる。

また微小要素の磁極面の磁荷　dm は、磁石の残留磁束密度をBrとすると、

$d m = B r d s = B r d x d y$

ここで　式(3-1）を用いた。

微小要素dsによって点 $P_{0}$ に作られる磁界 $\overset{⃑}{d H}$ はdsから点 $P_{0}$ を結ぶ方向を向いたベクトルで以下の様に表せる。

$\overset{⃑}{d H} = \frac{d m}{4 π μ_{0} {r `}^{2}} \frac{\overset{⃑}{r `}}{r `} = \frac{B r d x d y}{4 π μ_{0} {r `}^{2}} \frac{\overset{⃑}{r `}}{r `}$

従って、全ての四角型磁極面からの磁界 $\overset{⃑}{H}$ への寄与は四角型全体のXとyに関して積分する事により求められ

$\overset{⃑}{H} = \int_{- a}^{a} \int_{- b}^{b} \overset{⃑}{d H} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- a}^{a} \int_{- b}^{b} \frac{1}{{r `}^{2}} \frac{\overset{⃑}{r `}}{r `} d x d y$

となる。 $\vec{r^{`}}$ の　式(3-2）を用いて $\overset{⃑}{H}$ の各成分で表せば

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- a}^{a} \int_{- b}^{b} \frac{1}{{r `}^{3}} (X_{0} - x) d x d y$ 式(3-4)

$H_{y} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- a}^{a} \int_{- b}^{b} \frac{1}{{r `}^{3}} (Y_{0} - y) d x d y$ 式(3-5)

$H_{Z} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{- a}^{a} \int_{- b}^{b} \frac{1}{{r `}^{3}} Z_{0} d x d y$ 式(3-6)

となる。

ここで、式(3-4) , (3-5)　において夫々　 $X_{0} - x = t$ , $Y_{0} - y = u$ とおくと積分範囲は夫々　 $[X_{0} + a, X_{0} - a], [Y_{0} + b, Y_{0} - b]$ となり、 $- d x = d t, - d y = d u$ であるので　式(3-4)、(3-5)、(3-6)　は

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Y_{0} - b}^{Y_{0} + b} (\int_{X_{0} - a}^{X_{0} + a} \frac{t}{{r `}^{3}} d t) d u$ 式(3-4')

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{X_{0} - a}^{X_{0} + a} (\int_{Y_{0} - b}^{Y_{0} + b} \frac{u}{{r `}^{3}} d u) d t$ 式(3-5')

$H_{Z} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{X_{0} - a}^{X_{0} + a} (\int_{Y_{0} - b}^{Y_{0} + b} \frac{1}{{r `}^{3}} Z_{0} d u) d t$ 式(3-6')

と t と u に関する積分で表せる。ここで式 (3-4`) , (3-5`) , (3-6`)　の　r`　は　t とu を用いて

$r ` = \sqrt{t^{2} + u^{2} + {Z_{0}}^{2}}$

と表せる。

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