§3　四角型磁極　3)解の特異点の考察

§３．四角型磁極により作られる磁界

3)解の特異点の考察

このように四角型磁極面の場合は磁束密度の積分解が解析的に解ける。これらの解について特に磁極面上の面である時すなわち $Z_{0} = 0$ ときの解の性質を調べる。

$Z_{0} = δ ({l i m}_{δ \to 0} ）$ のときのHx,　Hy,　Hzの解の式 (3-11) , (3-12) , (3-15) は以下のように表せる。

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}^{} + δ^{2}}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}})$ 式(3-16)

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{{{(X_{0} - a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{{(X_{0} - a)}^{2} + (Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}})$ 式(3-17)

$H z = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \lim_{δ \to 0} \{\tan^{- 1} (\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}) - \tan^{- 1} (\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}})$
$- \tan^{- 1} (\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}) ＋ \tan^{- 1} (\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}})\}$ 式(3-18)

1) Hxの式(3-16）において $Z_{0} = δ ({l i m}_{δ \to 0} ）$ の時

$X_{0} \neq a$ 且つ $X_{0} \neq - a$ であれば全ての　 $Y_{0}$ 　に対して

$\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} ∙ \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}} > 0$

となりHxは特異点を持たない。 $X_{0} = a$ または $X_{0} = - a$ の時、場合分けして考察する。

Ⅰ）　 $X_{0} = a$ の時

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(Y_{0} + b) + |Y_{0} + b| \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} + b)}^{2}}}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{(Y_{0} - b) + |Y_{0} - b| \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} - b)}^{2}}}})$ 式(3-19)

となる。次に　 $Y_{0}$ 　の値で場合分けを行うと

ⅰ） $Y_{0} > b$ 　の時

$|Y_{0} \pm b| = Y_{0} \pm b$ であるので

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(Y_{0} + b)}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{(Y_{0} - b)})$ 式(3-20)

と表せる。

ⅱ） $b \geq Y_{0} \geq - b$ 　の時

$|Y_{0} + b| = Y_{0} ＋ b, |Y_{0} - b| = {- Y}_{0} ＋ b であるので$

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(Y_{0} + b) + (Y_{0} + b) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} + b)}^{2}}}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{(Y_{0} - b) - (Y_{0} - b) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} - b)}^{2}}}})$
$＝ \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{2 (Y_{0} + b) + \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(Y_{0} + b)}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{Y_{0} - b}})$ 式(3-21)

となりδ→0　の時log( ) は発散する。

ⅲ）　 $－ b > Y_{0}$ 　の時

$|Y_{0} \pm b| = {- （ Y}_{0} \pm b ）$ であるので

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(Y_{0} + b) - (Y_{0} + b) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} + b)}^{2}}}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{(Y_{0} - b) - (Y_{0} - b) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} - b)}^{2}}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(Y_{0} + b)}}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{Y_{0} - b}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(Y_{0} - b)}{(Y_{0} + b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} \frac{(Y_{0} - b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{(Y_{0} + b)})$ 式(3-22)

Ⅱ）　 $X_{0} = － a$ の時

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{{4 a}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}^{}}}{(Y_{0} + b) + |Y_{0} + b| \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} + b)}^{2}}}} \frac{(Y_{0} - b) + |Y_{0} - b| \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} - b)}^{2}}}}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{4 a}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}})$ 式(3-23)

となる。次に $Y_{0}$ の値で場合分けを行うと

ⅰ） $Y_{0} > b$ の時

$|Y_{0} \pm b| = Y_{0} \pm b$ であるので

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}}}{(Y_{0} + b)} \frac{(Y_{0} - b)}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} - b)}^{2}}})$ 式(3-24)

と表せる。

ⅱ） $b \geq Y_{0} \geq - b$ 　の時

$|Y_{0} + b| = Y_{0} ＋ b, |Y_{0} - b| = {- Y}_{0} ＋ b であるので$

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}}}{2 (Y_{0} + b)} \frac{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{Y_{0} - b}}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{4 a}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}})$ 式(3-25)

となりδ→0　の時log( ) は発散する。

ⅲ）　 $－ b > Y_{0}$ 　の時

$|Y_{0} \pm b| = {- （ Y}_{0} \pm b ）$ であるので

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{{4 a}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}^{}}}{(Y_{0} + b) - (Y_{0} + b) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} + b)}^{2}}}} \frac{(Y_{0} - b) - (Y_{0} - b) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(Y_{0} - b)}^{2}}}}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{4 a}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{{4 a}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}^{}}}{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(Y_{0} + b)}} \frac{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(Y_{0} - b)}}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{4 a}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(Y_{0} + b) + \sqrt{4 a^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}}}{(Y_{0} - b)} \frac{(Y_{0} + b)}{(Y_{0} - b) + \sqrt{{{4 a}^{2} + (Y_{0} - b)}^{2}}})$ 式(3-26)

2) Hyの式(3-17）において $Z_{0} = δ ({l i m}_{δ \to 0})$ 　の時

$Y_{0} \neq b$ 且つ $Y_{0} \neq - b$ であれば　全ての　 $X_{0}$ 　に対して

$\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{(X_{0} + a)}^{2} + (Y_{0} + b)}^{2}}} ∙ \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2}}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2}}} > 0$

となりHyは特異点を持たない。 $Y_{0} = b$ または　 $Y_{0} = - b$ の時、場合分けして考察する。

Ⅰ）　 $Y_{0} = b$ の時

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) + |X_{0} + a| \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} + a)}^{2}}}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{4 b}^{2} + (X_{0} + a)}^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{4 b^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}}{(X_{0} - a) + |X_{0} - a| \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} - a)}^{2}}}})$ 式(3-27)

となる。次に　X0　の値で場合分けを行うと

ⅰ） $X_{0} > a$ 　の時

$|X_{0} \pm a| = X_{0} \pm a$ であるので

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(X_{0} + a)}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{4 b}^{2} + (x_{0} + a)}^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{4 b^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}}{(X_{0} - a)})$ 式(3-28)

と表せる。

ⅱ） $a \geq X_{0} \geq - a$ 　の時

$|X_{0} + a| = X_{0} ＋ a, |X_{0} - a| = {- X}_{0} ＋ a であるので$

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) + (X_{0} + a) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} + a)}^{2}}}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{4 b}^{2} + (X_{0} + a)}^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{4 b^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}}{(X_{0} - a) - (X_{0} - a) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} - a)}^{2}}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{2 (X_{0} + a) + \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(X_{0} + a)}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{4 b}^{2} + (X_{0} + a)}^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{4 b^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}}{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{X_{0} - a}})$ 式(3-29)

となりδ→0　の時log( ) は発散する。

ⅲ） –a >X_0 の時

$|X_{0} \pm a| = {- （ X}_{0} \pm a ）$ であるので

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) - (X_{0} + a) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} + a)}^{2}}}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{4 b}^{2} + (X_{0} + a)}^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{4 b^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}}{(X_{0} - a) - (X_{0} - a) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} - a)}^{2}}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(X_{0} + a)}}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{4 b}^{2} + (X_{0} + a)}^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{4 b^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}}{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{X_{0} - a}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(X_{0} - a)}{(X_{0} + a) + \sqrt{{{4 b}^{2} + (X_{0} + a)}^{2}}} \frac{(X_{0} - a) + \sqrt{4 b^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}}{(X_{0} + a)})$ 式(3-30)

Ⅱ）　 $Y_{0} = － b$ の時　

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} + a)}^{2}^{}}}{(X_{0} + a) + |X_{0} + a| \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} + a)}^{2}}}} \frac{(X_{0} - a) + |X_{0} - a| \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} - a)}^{2}}}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}})$ 式(3-31)

となる。次に　 $X_{0}$ 　の値で場合分けを行うと　

ⅰ） $X_{0} > a$ 　の時

$|X_{0} \pm a| = X_{0} \pm a$ であるので

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} + a)}^{2}^{}}}{(X_{0} + a)} \frac{(X_{0} - a)}{(X_{0} - a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}})$ 式(3-32)

と表せる。

ⅱ）　 $a \geq X_{0} \geq - a$ 　の時

$|X_{0} + a| = X_{0} ＋ a, |X_{0} - a| = {- X}_{0} ＋ a であるので$

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} + a)}^{2}^{}}}{(X_{0} + a) + (X_{0} + a) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} + a)}^{2}}}} \frac{(X_{0} - a) - (X_{0} - a) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} - a)}^{2}}}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} + a)}^{2}^{}}}{2 (X_{0} + a)} \frac{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(X_{0} - a)}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}})$ 式(3-33)

となりδ→0　の時log( ) は発散する。

ⅲ）－a　>　 $X_{0}$ 　　の時

$|X_{0} \pm a| = {- （ X}_{0} \pm a ）$ であるので

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} + a)}^{2}^{}}}{(X_{0} + a) - (X_{0} + a) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} + a)}^{2}}}} \frac{(X_{0} - a) - (X_{0} - a) \sqrt{1 + \frac{δ^{2}}{{(X_{0} - a)}^{2}}}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \underset{δ \to 0}{l i m} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} + a)}^{2}^{}}}{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(X_{0} + a)}} \frac{- \frac{1}{2} \frac{δ^{2}}{(X_{0} - a)}}{(X_{0} - a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}})$
$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \log (\frac{(X_{0} + a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} + a)}^{2}^{}}}{(X_{0} - a)} \frac{(X_{0} + a)}{(X_{0} - a) + \sqrt{{4 b}^{2} + {(X_{0} - a)}^{2}}})$ 式(3-34)

3) Hzの式(3-18）において $Z_{0} = δ ({l i m}_{δ \to 0})$ 　の時。

Ⅰ）磁石面上の点 $({- a < X}_{0} < a, - b < Y_{0} < b$ ) の場合

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$ （複号同順）

$\tan^{- 1} (\pm \infty) = \pm \frac{π}{2} であるので$

$H_{Z} = \pm \frac{1}{2} \frac{B_{r}}{μ_{0}}, δ \to \pm 0 (複号同順)$ 式(3-35)

Ⅱ）磁石面上以外の点の場合

ⅰ) $X_{0} < - a$ 　の時

$a) Y_{0} < - b$ の時

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$ （複号同順）

であるので　

$H_{Z} = 0, δ \to \pm 0$ 式(3-36)

となる。　

$b) {b > Y}_{0} > - b$ の時

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$ （複号同順）

であるので　

$H_{Z} = 0, δ \to \pm 0$ 式(3-37)

となる。　

c)　 ${b < Y}_{0}$ の時

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$ （複号同順）

であるので　

$H_{Z} = 0, δ \to \pm 0$ 式(3-38)

となる。　

ⅱ) $- a < X_{0} < a$ 　の時

a)　 $Y_{0} < - b$ の時

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$ （複号同順）

であるので　

$H_{Z} = 0, δ \to \pm 0$ 式(3-39)

となる。　

b)　 $b_{} < Y_{0}$ の時

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$ （複号同順）

であるので　

$H_{Z} = 0, δ \to \pm 0$ 式(3-40)

となる。　

ⅲ) $a < X_{0}$ 　の時

a)　 $Y_{0} < - b$ の時

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$ （複号同順）

であるので　

$H_{Z} = 0, δ \to \pm 0$ 式(3-41)

となる。　

b)　 $b > Y_{0} > - b$ の時

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \mp \infty$ （複号同順）

であるので　

$H_{Z} = 0, δ \to \pm 0$ 式(3-42)

となる。　

c)　 $b < Y_{0}$ の時

式 (3-18)　の $\tan^{- 1} ()$ の括弧内は

第一項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第二項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} + a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} + a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第三項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} + b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} + b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$

第四項目

$\underset{δ \to \pm 0}{l i m} \{\frac{1}{δ} \frac{(X_{0} - a) (Y_{0} - b)}{\sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + δ^{2}}}\} = \pm \infty$ （複号同順）

であるので　

$H_{Z} = 0, δ \to \pm 0$ 式(3-43)

となる。　

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§３．四角型磁極により作られる磁界

3)解の特異点の考察

1) Hxの 式(3-16）において Z0=δ ( limδ→0） の時

Ⅰ） X0=a の時

ⅰ）Y0 > b の時

ⅱ）b ≥ Y0 ≥ -b の時

ⅲ） －b > Y0 の時

Ⅱ） X0=－a の時

ⅰ）Y0 > b の時

ⅱ）b ≥Y0≥ -b の時

ⅲ） －b>Y0 の時

2) Hyの 式(3-17）において Z0=δ( limδ→0) の時

Ⅰ） Y0=b の時

ⅰ） X0 > a の時

ⅱ） a ≥X0≥-a の時

ⅲ） –a >X_0 の時

Ⅱ） Y0=－b の時

ⅰ） X0 > a の時

ⅱ） a ≥X0 ≥ -a の時

ⅲ）－a > X0 の時

3) Hzの 式(3-18）において Z0=δ limδ→0 の時。

Ⅰ）磁石面上の点 ( -a< X0 <a , -b< Y0 <b) の場合

Ⅱ）磁石面上以外の点の場合

ⅰ) X0 < -a の時

a) Y0 < -b の時

b) b> Y0 > -b の時

c) b< Y0 の時

ⅱ) -a <X0<a の時

a) Y0 < -b の時

b) b < Y0 の時

ⅲ)a < X0 の時

a) Y0 < -b の時

b) b> Y0> -b の時

c) b< Y0 の時

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1) Hxの式(3-16）において $Z_{0} = δ ({l i m}_{δ \to 0} ）$ の時

Ⅰ）　 $X_{0} = a$ の時

ⅰ） $Y_{0} > b$ 　の時

ⅱ） $b \geq Y_{0} \geq - b$ 　の時

ⅲ）　 $－ b > Y_{0}$ 　の時

Ⅱ）　 $X_{0} = － a$ の時

ⅰ） $Y_{0} > b$ の時

ⅱ） $b \geq Y_{0} \geq - b$ 　の時

ⅲ）　 $－ b > Y_{0}$ 　の時

2) Hyの式(3-17）において $Z_{0} = δ ({l i m}_{δ \to 0})$ 　の時

Ⅰ）　 $Y_{0} = b$ の時

ⅰ） $X_{0} > a$ 　の時

ⅱ） $a \geq X_{0} \geq - a$ 　の時

Ⅱ）　 $Y_{0} = － b$ の時　

ⅰ） $X_{0} > a$ 　の時

ⅱ）　 $a \geq X_{0} \geq - a$ 　の時

ⅲ）－a　>　 $X_{0}$ 　　の時

3) Hzの式(3-18）において $Z_{0} = δ ({l i m}_{δ \to 0})$ 　の時。

Ⅰ）磁石面上の点 $({- a < X}_{0} < a, - b < Y_{0} < b$ ) の場合

ⅰ) $X_{0} < - a$ 　の時

$a) Y_{0} < - b$ の時

$b) {b > Y}_{0} > - b$ の時

c)　 ${b < Y}_{0}$ の時

ⅱ) $- a < X_{0} < a$ 　の時

a)　 $Y_{0} < - b$ の時

b)　 $b_{} < Y_{0}$ の時

ⅲ) $a < X_{0}$ 　の時

a)　 $Y_{0} < - b$ の時

b)　 $b > Y_{0} > - b$ の時

c)　 $b < Y_{0}$ の時