§4　三角型磁極　2)積分の実行

§４．三角型磁極により作られる磁界

2)積分の実行

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{x d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (b x + 2 c)}{(b^{2} - 4 a c) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(4-7)

ここで

$a = 1, b = 0, c_{x} = {(X_{0} - x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}, c_{y} = {(Y_{0} - y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}$

とおき　x　に関する積分を　t　または　u に関する積分に置き換えて考えると式(4-4`),(4-5`)の　t または　u に関する積分が積分公式(4-7)を利用して実行できる。

以下先ず Hx について考える。

1)　Hxの計算

式(4-4`)　は　積分公式　式(4-7)　を用いると、t　に関する積分が実行でき、

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{b} {[\frac{4 c_{y}}{- 4 c_{y} \sqrt{t^{2} + c_{y}}}]}_{t = X_{0} - a (1 - \frac{y}{b})}^{t = X_{0}} d y$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{b} (\frac{- 1}{\sqrt{{X_{0}}^{2} + c_{y}}} + \frac{1}{\sqrt{{\{X_{0} - a (1 - \frac{y}{b})\}}^{2} + c_{y}}}) d y$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{b} (\frac{- 1}{\sqrt{{X_{0}}^{2} + {(Y_{0} - y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{{\{X_{0} - a (1 - \frac{y}{b})\}}^{2} + {(Y_{0} - y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}) d y$ 式(4-8)

この積分の第一項では　 $Y_{0} - y = u$ 　とおき、第二項の根号の中は

${\{X_{0} - a (1 - \frac{y}{b})\}}^{2} + {(Y_{0} - y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}$

$= (1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}) y^{2} + 2 (\frac{a}{b} X_{0} - Y_{0} - \frac{a^{2}}{b}) y + {(X_{0} - a)}^{2} + {Y_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2} = A y^{2} + B y + C$

ここでA,B,Cを以下の様においた。

$A = 1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}, B = 2 (\frac{a}{b} X_{0} - Y_{0} - \frac{a^{2}}{b}), C = {(X_{0} - a)}^{2} + {Y_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}$ 式(4-9)

これより式(4-8)は

$H_{x} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} (\int_{Y_{0} - b}^{Y_{0}} \frac{- d u}{\sqrt{{X_{0}}^{2} + u^{2} + {Z_{0}}^{2}}} + \int_{0}^{b} \frac{d y}{\sqrt{A y^{2} + B y + C}})$ 式(4-10)

次に　数学公式Ⅰ（岩波全書）（注１）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \log |2 a x + b + 2 \sqrt{a (a x^{2} + b x + c)}| a > 0 の時$ 式(4-11)

式(4-10)は

$H_{x} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \{{[- \log |2 u + 2 \sqrt{{X_{0}}^{2} + u^{2} + {Z_{0}}^{2}}|]}_{Y_{0} - b}^{Y_{0}} + {[\frac{1}{\sqrt{A}} \log |2 A y + B + 2 \sqrt{A (A y^{2} + B y + C)}|]}_{0}^{b}\}$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} (\log |\frac{2 (Y_{0} - b) + 2 \sqrt{{X_{0}}^{2} + {(Y_{0} - b)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{2 Y_{0} + 2 \sqrt{{X_{0}}^{2} + {Y_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}| + \frac{1}{\sqrt{A}} \log |\frac{2 A b + B + 2 \sqrt{A (A b^{2} + B b + C)}}{B + 2 \sqrt{A C}}|)$ 式(4-12)

上式よりHxが表せる。

2)　Hyの計算

次に　式(4-5`)　も同様に積分公式　式(4-7)　を用い、u　に関する積分を実行し、その後公式　式(4-11)　を用いて　y　に関する積分を行う。

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{a} {[\frac{4 c_{x}}{- 4 c_{x} \sqrt{u^{2} + c_{x}}}]}_{u = Y_{0} - b (1 - \frac{x}{a})}^{u = Y_{0}} d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{a} (\frac{- 1}{\sqrt{{Y_{0}}^{2} + c_{X}}} + \frac{1}{\sqrt{{\{Y_{0} - b (1 - \frac{x}{a})\}}^{2} + c_{x}}}) d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{a} (\frac{- 1}{\sqrt{{(X_{0} - x)}^{2} + {Y_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{{\{Y_{0} - b (1 - \frac{x}{a})\}}^{2} + {(X_{0} - x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}) d x$ 式(4-13)

この積分の第一項では　 $X_{0} - x = t$ 　とおき、第二項の根号の中は以下の様にxに関して展開する。

${\{Y_{0} - b (1 - \frac{x}{a})\}}^{2} + {(X_{0} - x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}$

$= (1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}) x^{2} + 2 (\frac{b}{a} Y_{0} - X_{0} - \frac{b^{2}}{a}) x {+ (Y_{0} - b)}^{2} + {X_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2} = A^{'} y^{2} + B' y + C'$

ここでA’,B’,C’を以下の様においた。

$A' = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}, B' = 2 (\frac{b}{a} Y_{0} - X_{0} - \frac{b^{2}}{a}), C' = {(Y_{0} - b)}^{2} + {X_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}$ 式(4-14)

これより式(4-13)は

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} (\int_{X_{0} - a}^{X_{0}} \frac{- d t}{\sqrt{t^{2} + {Y_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}} + \int_{0}^{a} \frac{d x}{\sqrt{A^{'} x^{2} + B^{'} x + C^{'}}})$ 式(4-15)

ここで積分公式　式(4-11)を用いると

$H_{y} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \{{[- \log |2 t + 2 \sqrt{t^{2} + {Y_{0}}^{2} {+ Z_{0}}^{2}}|]}_{X_{0} - a}^{X_{0}} + {[\frac{1}{\sqrt{A^{'}}} \log |2 A' x + B' + 2 \sqrt{A' (A' x^{2} + B' x + C')}|]}_{0}^{a}\}$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} (\log |\frac{2 (X_{0} - a) + 2 \sqrt{{(X_{0} - a)}^{2} + {Y_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{2 X_{0} + 2 \sqrt{{X_{0}}^{2} + {Y_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}| + \frac{1}{\sqrt{A^{'}}} \log |\frac{2 A^{'} a + B^{'} + 2 \sqrt{A^{'} (A^{'} a^{2} + B^{'} a + C^{'})}}{B^{'} + 2 \sqrt{A^{'} C^{'}}}|)$ 式(4-16)

3)　Hzの計算

数学公式Ⅰ（岩波全書）（注１）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (2 a x + b)}{(4 a c - b^{2}) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(4-17)

　上式でa=1, b=0, c= $({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}$ と考えれば、式(4-6)で表された $H_{Z}$ 　のyに関する積分が実行でき、

$H_{Z} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{a} (\int_{0}^{- \frac{b}{a} x + b} \frac{1}{{\sqrt{({X_{0} － x)}^{2} + {{(Y}_{0} － y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}^{3}} Z_{0} d y) d x$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{a} d x {[\frac{y Z_{0}}{\{({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}\} \sqrt{({X_{0} － x)}^{2} + {{(Y}_{0} － y)}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}]}_{y = 0}^{y = - \frac{b}{a} x + b}$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{a} d x [\frac{(- \frac{b}{a} x + b) Z_{0}}{\{({X_{0} － x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}\} \sqrt{({X_{0} － x)}^{2} + {\{Y_{0} － (- \frac{b}{a} x + b)\}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}]$ 式(4-18)

ここで被積分関数の根号の中は

${\{Y_{0} - (- \frac{b}{a} x + b)\}}^{2} + {(X_{0} - x)}^{2} + {Z_{0}}^{2}$

$= (1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}) x^{2} + 2 (\frac{b}{a} Y_{0} - X_{0} - \frac{b^{2}}{a}) x + {(Y_{0} - b)}^{2} + {X_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2} = A x^{2} + B x + C$

ここでA ,B ,Cを以下の様においた。

$A = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}, B = 2 (\frac{b}{a} Y_{0} - X_{0} - \frac{b^{2}}{a}), C = {(Y_{0} - b)}^{2} + {X_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}$ 式(4-19)

従って式(4-18)の積分は

$H_{Z} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{a} d x [\frac{(- \frac{b}{a} x + b) Z_{0}}{\{({x － X_{0})}^{2} + {Z_{0}}^{2}\} \sqrt{A x^{2} + B x + C}}]$ 式(4-20)

と表される。

次に

$x = \frac{t^{2} - C}{2 \sqrt{A} t + B}$ 式(4-21)

とおくと

$d x = \{\frac{2 t}{2 \sqrt{A} t + B} - \frac{2 \sqrt{A} (t^{2} - C)}{{(2 \sqrt{A} t + B)}^{2}}\} d t$

$= \frac{2 t (2 \sqrt{A} t + B) - 2 \sqrt{A} (t^{2} - C)}{{(2 \sqrt{A} t + B)}^{2}} d t$

$= \frac{2 \sqrt{A} t^{2} + 2 B t ＋ 2 \sqrt{A} C}{{(2 \sqrt{A} t + B)}^{2}} d t$ 式(4-22)

また式(4-21)は、

$t^{2} - 2 \sqrt{A} x t - B x - C = 0$

と変形できるので、tについて解くと解の1つは

$t = \sqrt{A} x ＋ \sqrt{A x^{2} + B x + C}$ 式(4-23)

すなわち

$\sqrt{A x^{2} + B x + C} = t - \sqrt{A} x ＝ t - \frac{\sqrt{A} (t^{2} - C)}{(2 \sqrt{A} t + B)}$ 式(4-24)

となり積分の中の無理関数 $\sqrt{A x^{2} + B x + C}$ 　を有理関数化できる。

式(4-20)を、式(4-21)の変数tに変換する。この時、式(4-22),(4-23),(4-24)を用いる。

$H_{Z} = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{0}^{a} d x [\frac{(- \frac{b}{a} x + b) Z_{0}}{\{({x － X_{0})}^{2} + {Z_{0}}^{2}\} \sqrt{A x^{2} + B x + C}}]$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{\sqrt{C}}^{\sqrt{A} a ＋ \sqrt{A a^{2} + B a + C}} \frac{2 \sqrt{A} t^{2} + 2 B t ＋ 2 \sqrt{A} C}{{(2 \sqrt{A} t + B)}^{2}} d t [\frac{\{- \frac{b}{a} (\frac{t^{2} - C}{2 \sqrt{A} t + B}) + b\} Z_{0}}{\{({\frac{t^{2} - C}{2 \sqrt{A} t + B} － X_{0})}^{2} + {Z_{0}}^{2}\} \{t - \frac{\sqrt{A} (t^{2} - C)}{(2 \sqrt{A} t + B)}\}}]$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{\sqrt{C}}^{\sqrt{A} a ＋ \sqrt{A a^{2} + B a + C}} \frac{\{2 \sqrt{A} t^{2} + 2 B t ＋ 2 \sqrt{A} C\} \{- \frac{b}{a} (t^{2} - C) + b (2 \sqrt{A} t + B)\} Z_{0}}{[{\{t^{2} - C － (2 \sqrt{A} t + B) X_{0}\}}^{2} + {Z_{0}}^{2} {(2 \sqrt{A} t + B)}^{2}] \{t (2 \sqrt{A} t + B) - \sqrt{A} (t^{2} - C)\}} d t$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{\sqrt{C}}^{\sqrt{A} a ＋ \sqrt{A a^{2} + B a + C}} \frac{2 \{- \frac{b}{a} (t^{2} - C) + b (2 \sqrt{A} t + B)\} Z_{0}}{{\{t^{2} - C － (2 \sqrt{A} t + B) X_{0}\}}^{2} + {Z_{0}}^{2} {(2 \sqrt{A} t + B)}^{2}} d t$ 式(4-25)

となり積分を有理関数の積分へ変換できた。

この有理関数の積分は分母がtに関する4次式となっており、4次方程式の一般解の公式を用いれば、一般的に解くプログラムを作成する事ができる。

これは別途示す事にする。

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§４．三角型磁極により作られる磁界

2)積分の実行

1) Hxの計算

2) Hyの計算

3) Hzの計算

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1)　Hxの計算

2)　Hyの計算

3)　Hzの計算