§６．扇型磁極面により作られる磁界 2)積分の実行

§６．扇型磁極面により作られる磁界

2)積分の実行

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{x d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}} = \frac{2 (b x + 2 c)}{(b^{2} - 4 a c) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(6-5)

$\int \frac{x^{2} d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}}$ $= \frac{({2 b}^{2} - 4 a c) x + 2 b c}{a (4 a c {- b}^{2}) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$
$+ \frac{1}{a^{3 / 2}} l o g |2 a x + b + 2 \sqrt{a (a x^{2} + b x + c)}|$ 式(6-6)

ここで

$a = 1, b = - 2 R_{0} \cos (Θ_{0} - θ), c = {R_{0}}^{2} + {Z_{0}}^{2}$ 式(6-7)

とおき　x　に関する積分を　r　に関する積分に置き換えて考えると式(6-2)、式(6-3)の　rに関する積分が公式(6-5)、(6-6)を利用して実行できる。

以下先ずHxについて考える。

1)　Hxの計算

式(6-2)を以下変形する。また、式(6-7)　の a(=1) , b , c を代入し公式(6-5)、(6-6)を利用して積分を実行する。

$H x = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{1}{{r `}^{3}} (R_{0} \cos Θ_{0} - r \cos θ) r d r$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r}{{r `}^{3}} R_{0} \cos Θ_{0} d r$ $- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r^{2}}{{r `}^{3}} \cos θ d r$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} R_{0} \cos Θ_{0} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r}{{(r^{2} + b r + c)}^{3 / 2}} d r$

$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} \cos θ d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r^{2}}{{(r^{2} + b r + c)}^{3 / 2}} d r$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} R_{0} \cos Θ_{0} d θ {[\frac{2 (b r + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{r^{2} + b r + c}}]}_{R i}^{R o}$

$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} \cos θ d θ {[\frac{({2 b}^{2} - 4 c) r + 2 b c}{(4 c {- b}^{2}) \sqrt{r^{2} + b r + c}} + l o g |2 r + b + 2 \sqrt{r^{2} + b r + c}|]}_{R i}^{R o}$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} R_{0} \cos Θ_{0} \{(\frac{2 (b R o + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{{R o}^{2} + b R o + c}}) - (\frac{2 (b R i + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{{R i}^{2} + b R i + c}})\} d θ$

$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} \cos θ \{(\frac{({2 b}^{2} - 4 c) R o + 2 b c}{(4 c {- b}^{2}) \sqrt{{R o}^{2} + b R o + c}}) - (\frac{({2 b}^{2} - 4 c) R i + 2 b c}{(4 c {- b}^{2}) \sqrt{{R i}^{2} + b R i + c}})\} d θ$

$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} \cos θ \{(l o g |2 R o + b + 2 \sqrt{{R o}^{2} + b R o + c}|)$

$- (l o g |2 R i + b + 2 \sqrt{{R i}^{2} + b R i + c}|)\} d θ$ 式(6-8)

2)　Hyの計算

同様に式(6-3)を以下変形する。

$H y = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{1}{{r `}^{3}} (R_{0} \sin Θ_{0} - r \sin θ) r d r$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r}{{r `}^{3}} R_{0} \sin Θ_{0} d r - \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r^{2}}{{r `}^{3}} \sin θ d r$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} R_{0} \sin Θ_{0} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r}{{(r^{2} + b r + c)}^{3 / 2}} d r$

$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} \sin θ d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r^{2}}{{(r^{2} + b r + c)}^{3 / 2}} d r$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} R_{0} \sin Θ_{0} d θ {[\frac{2 (b r + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{r^{2} + b r + c}}]}_{R i}^{R o}$

$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} \sin θ d θ {[\frac{({2 b}^{2} - 4 c) r + 2 b c}{(4 c {- b}^{2}) \sqrt{r^{2} + b r + c}} + l o g |2 r + b + 2 \sqrt{r^{2} + b r + c}|]}_{R i}^{R o}$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} R_{0} \sin Θ_{0} \{(\frac{2 (b R o + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{{R o}^{2} + b R o + c}}) - (\frac{2 (b R i + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{{R i}^{2} + b R i + c}})\} d θ$

$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} \sin θ \{(\frac{({2 b}^{2} - 4 c) R o + 2 b c}{(4 c {- b}^{2}) \sqrt{{R o}^{2} + b R o + c}}) - (\frac{({2 b}^{2} - 4 c) R i + 2 b c}{(4 c {- b}^{2}) \sqrt{{R i}^{2} + b R i + c}})\} d θ$

$- \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} \sin θ \{(l o g |2 R o + b + 2 \sqrt{{R o}^{2} + b R o + c}|)$

$- (l o g |2 R i + b + 2 \sqrt{{R i}^{2} + b R i + c}|)\} d θ$ 式(6-9)

3)　Hzの計算

同様に式(6-4)を以下変形する。

$H z = \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} Z_{0} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r}{{r `}^{3}} d r$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} Z_{0} d θ \int_{R i}^{R o} \frac{r}{{(r^{2} + b r + c)}^{3 / 2}} d r$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} Z_{0} d θ {[\frac{2 (b r + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{r^{2} + b r + c}}]}_{R i}^{R o}$

$= \frac{B r}{4 π μ_{0}} \int_{Θ s}^{Θ e} Z_{0} \{(\frac{2 (b R o + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{{R o}^{2} + b R o + c}}) - (\frac{2 (b R i + 2 c)}{(b^{2} - 4 c) \sqrt{{R i}^{2} + b R i + c}})\} d θ$ 式(6-10)

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