§７．弓形磁極により作られる磁界 1)磁界の表式

§７．弓形磁極により作られる磁界

1)磁界の表式

Fig.12で示されたように固有座標径に於いて、半径Rで、開始角度Θsから終了角度Θe、X軸方向に‐LからL迄伸びた弓形の磁極面が点　 $P_{0} (X_{0}, Y_{0}, Z_{0})$ 　に作る磁界を計算する。磁極表面の磁化MはZ軸方向を向いているとする。

弓形上の点 $(x, R \cos θ, R \sin θ)$ に位置し微小角度dθ、微小X方向長さdxを持った微小要素を　ds　とする。　座標原点O からdsまでのベクトル　 $\overset{⃑}{r}$ 　及び dsの面積は、

$\overset{⃑}{r} = (x, R \cos θ, R \sin θ)$

$d s = R d θ d x$ 式(7-1)

となる。また、dsから点 $P_{0}$ 迄を結んだベクトルを $\overset{⃑}{r `}$ とすると、

$\overset{⃑}{r `} = (X_{0} - x, Y_{0} - R \cos θ, Z_{0} - R \sin θ)$ 式(7-2)

となり、距離　r` は

$r ` = \sqrt{\overset{⃑}{r `} ･ \overset{⃑}{r `}} = \sqrt{({X_{0} － x)}^{2} + {{(Y}_{0} － R \cos θ)}^{2} + {{(Z}_{0} － R \sin θ)}^{2}}$ 式(7-3)

となる。

また微小要素の磁極面の磁荷　dm は、磁石の残留磁束密度をBrとすると、磁化MはZ方向を向いているので

$d m = B r \sin θ d s = B r \sin θ R d θ d x$

ここで　式(7-1）を用いた。

微小要素dsによって点P0に作られる磁界は $\overset{⃑}{d H}$ はdsから点 $P_{0}$ を結ぶ方向を向いたベクトルで以下の様に表せる。

$\overset{⃑}{d H} = \frac{d m}{4 π μ_{0} {r `}^{2}} \frac{\overset{⃑}{r `}}{r `} = \frac{B r \sin θ R d θ d x}{4 π μ_{0} {r `}^{2}} \frac{\overset{⃑}{r `}}{r `}$

従って、全ての弓型磁極面からの磁界 $\overset{⃑}{H}$ への寄与は弓型全体の角度θとXに関して積分する事により求められ

$\overset{⃑}{H} = \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \int_{- L}^{L} \overset{⃑}{d H} = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \int_{- L}^{L} \frac{\sin θ}{{r `}^{2}} \frac{\overset{⃑}{r `}}{r `} d θ d x$

となる。 $\vec{r^{`}}$ 　の　式(7-2）を用いて　 $\overset{⃑}{H}$ 　の各成分で表せば

$H x = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \int_{- L}^{L} \frac{\sin θ}{{r `}^{3}} (X_{0} - x) d θ d x$ 式(7-4)

$H_{y} = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \int_{- L}^{L} \frac{\sin θ}{{r `}^{3}} (Y_{0} - R \cos θ) d θ d x$ 式(7-5)

$H_{Z} = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \int_{- L}^{L} \frac{\sin θ}{{r `}^{3}} (Z_{0} - R \sin θ) d θ d x$ 式(7-6)

となる。

ここで、　 $X_{0} - x = t$ とおくと　積分範囲は　 $[X_{0} + L, X_{0} - L]$ 　

dx= -dt であるから　式(7-4)　～　(7-6)　は

$H x = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ d θ \int_{X_{0} - L}^{X_{0} + L} \frac{t}{{r `}^{3}} d t$ 式(7-4`)

$H_{y} = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (Y_{0} - R \cos θ) d θ \int_{X_{0} - L}^{X_{0} + L} \frac{1}{{r `}^{3}} d t$ 式(7-5`)

$H_{z} = \frac{B r R}{4 π μ_{0}} \int_{Θ_{s}}^{Θ_{e}} \sin θ (Z_{0} - R \sin θ) d θ \int_{X_{0} - L}^{X_{0} + L} \frac{1}{{r `}^{3}} d t$ 式(7-6`)

とt　に関する積分で表せる。ここで　r`　は　t　を用いると

$r ` = \sqrt{t^{2} + {{(Y}_{0} － R \cos θ)}^{2} + {{(Z}_{0} － R \sin θ)}^{2}}$ 式(7-3`)

となる。

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