§８．直線平角ワイヤーに流れる電流により作られる磁界 2)積分の実行

§８．直線平角ワイヤーに流れる電流による磁界

2)積分の実行

１）Hyの計算

式(8-8) において $x - X_{0} = t$ とおくと

$H_{y} = - \frac{i}{4 π} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} d y \int_{- T}^{0} d z \int_{- \frac{L}{2} - X_{0}}^{\frac{L}{2} - X_{0}} d t \frac{Z_{0} - z}{{\sqrt{t^{2} + {(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}}^{3}}$ 式(8-10)

次に　式(3-7)　の不定積分公式において、a＝1、b＝0とおくと

$\int \frac{d x}{{\sqrt{x^{2} + c}}^{3}} = \frac{ｘ}{ｃ \sqrt{x^{2} + c}}$ 式(8-11)

となる事がわかるので　式(8-10)　のt　に関する積分が実行できて、

$H_{y} = - \frac{i}{4 π} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} d y \int_{- T}^{0} d z {[\frac{(Z_{0} - z) t}{\{{(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}\} \sqrt{t^{2} + {(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}}]}_{- \frac{L}{2} - X_{0}}^{\frac{L}{2} - X_{0}}$

$= - \frac{i}{4 π} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} d y \int_{- T}^{0} d z [\frac{(Z_{0} - z) (\frac{L}{2} - X_{0})}{\{{(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}\} \sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + {(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}}$ $+ \frac{(Z_{0} - z) (\frac{L}{2} ＋ X_{0})}{\{{(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}\} \sqrt{{(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2} + {(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}}]$ 式(8-12)

次にyに関する積分を行う。

$Y - Y_{0} = s, z - Z_{0} = p, C_{\pm} ＝ {(\frac{L}{2} \pm X_{0})}^{2}$ (複号同順) 式(8-13)

とおきsとpに関する積分に変換する。

$H_{ｙ} = \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} p d p \int_{- \frac{w}{2} - Y_{0}}^{\frac{w}{2} - Y_{0}} d s [\frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{(s^{2} + p^{2}) \sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{-}}} + \frac{\frac{L}{2} ＋ X_{0}}{(s^{2} + p^{2}) \sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{+}}}]$ 式(8-14)

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{(x^{2} + p^{2}) \sqrt{a x^{2} + c}} = \{\begin{matrix} \frac{1}{p \sqrt{c - a p^{2}}} \tan^{- 1} (\frac{x}{p} \sqrt{\frac{c - a p^{2}}{{a ｘ}^{2} + c}}) [c > a p^{2}] \\ \frac{1}{2 p \sqrt{a p^{2} - c}} \log |\frac{x \sqrt{a p^{2} - c} + p \sqrt{a x^{2} + c}}{x \sqrt{a p^{2} - c} - p \sqrt{a x^{2} + c}}| [c < a p^{2}] \\ \frac{x}{\sqrt{a} p^{2} \sqrt{x^{2} + p^{2}}} [c = a p^{2}] \end{matrix}$ 式(8-15)

式(8-15)　においてa →1, $c_{\pm}$ → $p^{2} {+ C}_{\pm} (複号同順)$ ,　 x→s　と考えると

$c_{\pm} - a p^{2} = p^{2} {+ C}_{\pm} － p^{2} = C_{\pm} = {(\frac{L}{2} \pm X_{0})}^{2} \geq 0$ 式(8-16)

となるので、

$X_{0} \neq \pm \frac{L}{2}$ 式(8-17)

であれば　式(8-14)の積分は　式(8-15)の一番上の条件が成り立つ。従って式(8-14)のsに関する積分を行う事ができ　

$H_{ｙ} = \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} p d p$ ${[\frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{p \sqrt{C_{-}}} \tan^{- 1} (\frac{s}{p} \sqrt{\frac{C_{-}}{s^{2} + p^{2} + C_{-}}}) + \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{p \sqrt{C_{+}}} \tan^{- 1} (\frac{s}{p} \sqrt{\frac{C_{+}}{s^{2} + p^{2} + C_{+}}})]}_{- \frac{w}{2} - Y_{0}}^{\frac{w}{2} - Y_{0}}$

$= \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} d p {[\frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{|\frac{L}{2} - X_{0}|} \tan^{- 1} (\frac{s}{p} \frac{|\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{-}}}) + \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{|\frac{L}{2} + X_{0}|} \tan^{- 1} (\frac{s}{p} \frac{|\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{+}}})]}_{- \frac{w}{2} - Y_{0}}^{\frac{w}{2} - Y_{0}}$

$= \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} d p \{\tan^{- 1} (\frac{\frac{w}{2} - Y_{0}}{p} \frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}}}) + \tan^{- 1} (\frac{\frac{w}{2} - Y_{0}}{p} \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}}})$

$+ \tan^{- 1} (\frac{\frac{w}{2} + Y_{0}}{p} \frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{\sqrt{{(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}}}) + \tan^{- 1} (\frac{\frac{w}{2} + Y_{0}}{p} \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{\sqrt{{(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}}})\}$

$= \frac{i}{4 π} \int_{- T}^{0} d p \{\tan^{- 1} (\frac{\frac{w}{2} - Y_{0}}{(z - Z_{0})} \frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{\sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + {(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}})$

$+ \tan^{- 1} (\frac{\frac{w}{2} - Y_{0}}{(z - Z_{0})} \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{\sqrt{{(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2} + {(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}})$

$+ \tan^{- 1} (\frac{\frac{w}{2} + Y_{0}}{(z - Z_{0})} \frac{\frac{L}{2} - X_{0}}{\sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + {(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}})$

$+ \tan^{- 1} (\frac{\frac{w}{2} + Y_{0}}{(z - Z_{0})} \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{\sqrt{{{(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2} + (\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}})\}$ 式(8-18)

と表せる。

次に式(8－17)が成り立たない時の一つである

$X_{0} = ＋ \frac{L}{2}$ 式(8-19)

の時を考える。式(8-16)において　 $c ＝ a p^{2}$ 　が成り立つので式(8－14)の第1項の積分は積分公式(8－15)の一番下の公式が適用される。従って式(8－14)の積分は

$H_{ｙ} = \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} p d p {[\frac{(\frac{L}{2} - X_{0}) s}{P^{2} \sqrt{s^{2} ＋ P^{2}}} + \frac{\frac{L}{2} + X_{0}}{p \sqrt{C_{+}}} \tan^{- 1} (\frac{s}{p} \sqrt{\frac{C_{+}}{s^{2} + p^{2} + C_{+}}})]}_{- \frac{w}{2} - Y_{0}}^{\frac{w}{2} - Y_{0}}$ 式(8-20)

と表されるが、第1項目は　式(8-19)　よりゼロとなる。これは、式(8-18)において $X_{0} = ＋ \frac{L}{2}$ を代入した場合に等しい。同様に　　　

$X_{0} = - \frac{L}{2}$ 式(8-21)

の時も　式(8-18)において　 $X_{0} = - \frac{L}{2}$ 　　を代入した場合に等しい。

２）Hzの計算

式(8-9) において　 ${x - X}_{0} = t$ 　　とおくと

$H_{Z} = \frac{i}{4 π} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} d y \int_{- T}^{0} d z \int_{- \frac{L}{2} - X_{0}}^{\frac{L}{2} - X_{0}} d t \frac{Y_{0} - y}{{\sqrt{t^{2} + {(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}}^{3}}$ 式(8-22)

不定積分公式(8－11)を用いて　t　に関する積分を行うと

$H_{Z} = \frac{i}{4 π} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} d y \int_{- T}^{0} d z {[\frac{(Y_{0} - y) t}{\{{(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}\} \sqrt{t^{2} + {(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}}]}_{- \frac{L}{2} - X_{0}}^{\frac{L}{2} - X_{0}}$

$= \frac{i}{4 π} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} d y \int_{- T}^{0} d z [\frac{(Y_{0} - y) (\frac{L}{2} - X_{0})}{\{{(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}\} \sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + {(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}}$

$+ \frac{(Y_{0} - y) (\frac{L}{2} ＋ X_{0})}{\{{(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}\} \sqrt{{(\frac{L}{2} + X_{0})}^{2} + {(y - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}}}]$ 式(8-23)

次にyに関する積分を行う。

Y－ $Y_{0}$ 　=　s　,　 $z - Z_{0}$ 　=　p　,　 $C_{\pm} ＝$ 　 ${(\frac{L}{2} \pm X_{0})}^{2}$ (複号同順) 式(8-24)

とおきsとpに関する積分に変換する。

$H_{z} = \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} d p \int_{- \frac{w}{2} - Y_{0}}^{\frac{w}{2} - Y_{0}} d s [\frac{- S (\frac{L}{2} - X_{0})}{(s^{2} + p^{2}) \sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{-}}} + \frac{- S (\frac{L}{2} ＋ X_{0})}{(s^{2} + p^{2}) \sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{+}}}]$ 式(8-25)

ここで数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{x d x}{(x^{2} + p^{2}) \sqrt{a x^{2} + c}} = \{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{a p^{2} - c}} \tan^{- 1} \sqrt{\frac{a x^{2} ＋ c}{{a p}^{2} - c}} [a p^{2} > c] \\ \frac{1}{2 \sqrt{c - a p^{2}}} \log |\frac{\sqrt{a x^{2} + c} - \sqrt{c - a p^{2}}}{\sqrt{a x^{2} + c} + \sqrt{c - a p^{2}}}| [a p^{2} < c] \\ \frac{- 1}{\sqrt{a} \sqrt{x^{2} + p^{2}}} [a p^{2} = c] \end{matrix}$ 式(8-26)

式(8-26)　においてa →1, $c_{\pm}$ → $p^{2} {+ C}_{\pm}$ (複号同順),　 x→s　と考えると

$c_{\pm} － a p^{2} = p^{2} {+ C}_{\pm} - p^{2} = C_{\pm} = {(\frac{L}{2} \pm X_{0})}^{2} \geq 0$ 式(8-27)

となるので、

$X_{0} \neq \pm \frac{L}{2}$ 式(8-28)

　であれば　式(8-25)の積分は　式(8-26)の2番目の条件が成り立つ。従って式(8-25)のsに関する積分を行う事ができ　　

$H_{z} = \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} d p \int_{- \frac{w}{2} - Y_{0}}^{\frac{w}{2} - Y_{0}} d s [\frac{S (\frac{L}{2} - X_{0})}{(s^{2} + p^{2}) \sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{-}}} + \frac{S (\frac{L}{2} ＋ X_{0})}{(s^{2} + p^{2}) \sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{+}}}]$

$= - \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} d p [\begin{matrix} \frac{(\frac{L}{2} - X_{0})}{2 |\frac{L}{2} - X_{0}|} \log |\frac{\sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{-}} - |\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{-}} + |\frac{L}{2} - X_{0}|}| \end{matrix}$

$+ {\frac{(\frac{L}{2} + X_{0})}{2 |\frac{L}{2} + X_{0}|} \log |\frac{\sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{+}} - |\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{s^{2} + p^{2} + C_{+}} + |\frac{L}{2} + X_{0}|}|]}_{- \frac{w}{2} - Y_{0}}^{\frac{w}{2} - Y_{0}}$

$= － \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} d p [\frac{s i g n (\frac{L}{2} - X_{0})}{2} \{\log |\frac{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}} - |\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}} + |\frac{L}{2} - X_{0}|}|$

$- \log |\frac{\sqrt{{(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}} - |\frac{L}{2} - X_{0}|}{\sqrt{{(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}} + |\frac{L}{2} - X_{0}|}|\}$

$+ \frac{s i g n (\frac{L}{2} + X_{0})}{2} \{\log |\frac{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}} - |\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}} + |\frac{L}{2} + X_{0}|}| - \log |\frac{\sqrt{{(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}} - |\frac{L}{2} + X_{0}|}{\sqrt{{(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}} + |\frac{L}{2} + X_{0}|}|\}]$ 式(8-29)

ここで　sign(x) は $x < 0, x = 0, 0 < x$ の場合に夫々　－1　,　0　,　1　を取る関数とする。式(8-29)において $X_{0}$ 　の場合分けを行うと

ⅰ）X_0 ≤ -L/2 の時

$\frac{L}{2} + X_{0} \leq 0, 0 \leq \frac{L}{2} - X_{0}$ となるので

$H z ＝－ \frac{i}{4 π} \int_{- T - Z_{0}}^{- Z_{0}} d p \frac{1}{2} \log [\frac{\{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}} - (\frac{L}{2} - X_{0})\}}{\{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}} + (\frac{L}{2} - X_{0})\}} ∙ \frac{\{\sqrt{{(\frac{w}{2} ＋ Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}} ＋ (\frac{L}{2} - X_{0})\}}{\{\sqrt{{(\frac{w}{2} ＋ Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{-}} ー (\frac{L}{2} - X_{0})\}}$

$∙ \frac{\{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}} - (\frac{L}{2} + X_{0})\}}{\{\sqrt{{(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}} + (\frac{L}{2} + X_{0})\}} ∙ \frac{\{\sqrt{{(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}} + (\frac{L}{2} + X_{0})\}}{\{\sqrt{{(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + p^{2} + C_{+}} - (\frac{L}{2} + X_{0})\}}]$ 式(8-30)

ⅱ） ${- \frac{L}{2} < X}_{0} \leq \frac{L}{2}$ の時

$0 < \frac{L}{2} + X_{0}, 0 \leq \frac{L}{2} - X_{0}$ となるので

ⅲ） $\frac{L}{2} {< X}_{0}$ の時

$\frac{L}{2} - X_{0} < 0, 0 < \frac{L}{2} ＋ X_{0}$ となるので

式(8-30) ,(5-31), (5-32)は同じ式になっているので $X_{0}$ )の場合によらずHzは1つの式で表す事ができる。積分をpからｚに戻すと

$H z ＝－ \frac{i}{4 π} \int_{- T}^{0} d z \frac{1}{2} \log [\{\frac{\sqrt{{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + (\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} - X_{0})}{\sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + {(\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} - X_{0})}\} ∙$

$\{\frac{\sqrt{{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + (\frac{w}{2} ＋ Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}} ＋ (\frac{L}{2} - X_{0})}{\sqrt{{(\frac{L}{2} - X_{0})}^{2} + {(\frac{w}{2} ＋ Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} - X_{0})}\} ∙$

$\{\frac{\sqrt{{{(\frac{L}{2} {+ X}_{0})}^{2} + (\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} + X_{0})}{\sqrt{{{(\frac{L}{2} {+ X}_{0})}^{2} + (\frac{w}{2} - Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} + X_{0})}\} ∙$

$\{\frac{\sqrt{{(\frac{L}{2} {+ X}_{0})}^{2} + {(\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}} + (\frac{L}{2} + X_{0})}{\sqrt{{{(\frac{L}{2} {+ X}_{0})}^{2} + (\frac{w}{2} + Y_{0})}^{2} + {(z - Z_{0})}^{2}} - (\frac{L}{2} + X_{0})}\}]$ 式(8-33)

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