§９．扇型平角ワイヤーに流れる電流要素により作られる磁界 2)積分の実行

§９．扇型平角ワイヤーに流れる電流による磁界

2)積分の実行

１）Hxの計算

式(9-4)において

$C = {(X_{0} - r ∙ \cos θ)}^{2} + {(Y_{0} - r ∙ \sin θ)}^{2}, t = Z_{0} - z$ 式(9-5)

とおきｚに関する積分をtに置き換えるとHxは

$H_{x} = \frac{i}{4 π} \int_{R_{i}}^{R_{o}} r d r \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} \cos θ d θ \int_{Z_{0}}^{Z_{0} + T} \frac{t}{{\sqrt{t^{2} + C}}^{3}} d t$ 式(9-6)

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{x d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}}$ = $\frac{2 (b x + 2 c)}{(b^{2} - 4 a c) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(9-7)

上式でa=1 , b=0 と考えれば

$\int \frac{x d x}{{(x^{2} + c)}^{3 / 2}}$ = $\frac{- １}{\sqrt{x^{2} + c}}$ 式(9-7’)

となるので式(9-6)のtに関する積分が実行でき

$H_{x} = \frac{i}{4 π} \int_{R_{i}}^{R_{o}} r d r \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} \cos θ d θ [\frac{１}{\sqrt{{Z_{0}}^{2} + C}} - \frac{１}{\sqrt{{(Z_{0} + T)}^{2} + C}}]$

$= \frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} \cos θ d θ \int_{R_{i}}^{R_{o}} d r [\frac{r}{\sqrt{{Z_{0}}^{2} + C}} - \frac{r}{\sqrt{{(Z_{0} + T)}^{2} + C}}]$ 式(9-8)

と表せる。次にrに関する積分を考える。[ 　]内の各項の分子の根号内は式(9-5)より

${Z_{0}}^{2} ＋ C = {{Z_{0}}^{2} ＋ (X_{0} - r ∙ \cos θ)}^{2} + {(Y_{0} - r ∙ \sin θ)}^{2}$

$= r^{2} - 2 (X_{0} \cos θ + Y_{0} \sin θ) r + {X_{0}}^{2} ＋ {Y_{0}}^{2} ＋ {Z_{0}}^{2}$

$= r^{2} - 2 C_{1} r + C_{2}$ 式(9-9)

また

${(Z_{0} + T)}^{2} + C$ = ${{(Z_{0} + T)}^{2} ＋ (X_{0} - r ∙ \cos θ)}^{2} + {(Y_{0} - r ∙ \sin θ)}^{2}$

$= r^{2} - 2 C_{1} r + C_{3}$ 式(9-10)

と表せる。ここで $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 　を以下のように置いた。

$\begin{matrix} C_{1} ＝ X_{0} \cos θ + Y_{0} \sin θ \\ C_{2} ＝ {X_{0}}^{2} ＋ {Y_{0}}^{2} ＋ {Z_{0}}^{2} \\ C_{3} ＝ {X_{0}}^{2} ＋ {Y_{0}}^{2} ＋ {(Z_{0} + T)}^{2} \end{matrix}\}$ 式(9-11)

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{x d x}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ = $\frac{1}{a} \sqrt{a x^{2} + b x + c} - \frac{b}{2 a} \frac{1}{\sqrt{a}} \log |2 a x + b + 2 \sqrt{a (a x^{2} + b x + c)}|$ [a>0の時]

上式でa=1　と考えれば積分公式は　以下の様になる。

$\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2} + b x + c}}$ = $\sqrt{x^{2} + b x + c} - \frac{b}{2} \log |2 x + b + 2 \sqrt{x^{2} + b x + c}|$ 式(9-12)

ここで　X　→　r　と考えれば　式(9-8)のrに関する積分が実行でき

$H_{x} = \frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} \cos θ d θ \int_{R_{i}}^{R_{o}} d r [\frac{r}{\sqrt{r^{2} - 2 C_{1} r + C_{2}}} - \frac{r}{\sqrt{r^{2} - 2 C_{1} r + C_{3}}}]$

$= \frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} \cos θ d θ \{{[\sqrt{r^{2} - 2 C_{1} r + C_{2}} + C_{1} \log |2 r - 2 C_{1} + 2 \sqrt{r^{2} - 2 C_{1} r + C_{2}}|]}_{R_{i}}^{R_{o}}$

$- {[\sqrt{r^{2} - 2 C_{1} r + C_{3}} + C_{1} \log |2 r - 2 C_{1} + 2 \sqrt{r^{2} - 2 C_{1} r + C_{3}}|]}_{R_{i}}^{R_{o}}\}$

$= \frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} \cos θ d θ \{\sqrt{{R_{o}}^{2} - 2 C_{1} R_{o} + C_{2}} + C_{1} \log |2 R_{o} - 2 C_{1} + 2 \sqrt{{R_{o}}^{2} - 2 C_{1} R_{o} + C_{2}}|$

$- (\sqrt{{R_{i}}^{2} - 2 C_{1} R_{i} + C_{2}} + C_{1} \log |2 R_{i} - 2 C_{1} + 2 \sqrt{{R_{i}}^{2} - 2 C_{1} R_{i} + C_{2}}|)$

$+ (\sqrt{{R_{o}}^{2} - 2 C_{1} R_{o} + C_{3}} + C_{1} \log |2 R_{o} - 2 C_{1} + 2 \sqrt{{R_{o}}^{2} - 2 C_{1} R_{o} + C_{3}}|)$

$- (\sqrt{{R_{i}}^{2} - 2 C_{1} R_{i} + C_{3}} + C_{1} \log |2 R_{i} - 2 C_{1} + 2 \sqrt{{R_{i}}^{2} - 2 C_{1} R_{i} + C_{3}}|)\}$ 式(9-13)

と表せる。

２）Hyの計算

Hyの計算はHxの計算と全く同様で式(9-13)でcosθを sinθに置き換えればよく

$H_{y}$ = $\frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} \sin θ d θ \{\sqrt{{R_{o}}^{2} - 2 C_{1} R_{o} + C_{2}} + C_{1} \log |2 R_{o} - 2 C_{1} + 2 \sqrt{{R_{o}}^{2} - 2 C_{1} R_{o} + C_{2}}|$

$- (\sqrt{{R_{i}}^{2} - 2 C_{1} R_{i} + C_{2}} + C_{1} \log |2 R_{i} - 2 C_{1} + 2 \sqrt{{R_{i}}^{2} - 2 C_{1} R_{i} + C_{2}}|)$

$+ (\sqrt{{R_{o}}^{2} - 2 C_{1} R_{o} + C_{3}} + C_{1} \log |2 R_{o} - 2 C_{1} + 2 \sqrt{{R_{o}}^{2} - 2 C_{1} R_{o} + C_{3}}|)$

$- (\sqrt{{R_{i}}^{2} - 2 C_{1} R_{i} + C_{3}} + C_{1} \log |2 R_{i} - 2 C_{1} + 2 \sqrt{{R_{i}}^{2} - 2 C_{1} R_{i} + C_{3}}|)\}$ 式(9-14)

と表せる。

２）Hzの計算

式(9-5)の変換を行いzからtの積分に変換すると式(9-4)のHzは

$H_{z} = \frac{i}{4 π} \int_{R_{i}}^{R_{o}} r d r \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \int_{Z_{0} + T}^{Z_{0}} \frac{- \sin θ (Y_{0} - r ∙ \sin θ) - \cos θ (X_{0} - r ∙ \cos θ)}{{\sqrt{t^{2} + C}}^{3}} (- d t)$

$= \frac{i}{4 π} \int_{R_{i}}^{R_{o}} r d r \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \int_{Z_{0}}^{Z_{0} + T} \frac{r - X_{0} \cos θ - Y_{0} \sin θ}{{\sqrt{t^{2} + C}}^{3}} d t$

$= \frac{i}{4 π} \int_{R_{i}}^{R_{o}} r d r \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} (r - X_{0} \cos θ - Y_{0} \sin θ) d θ \int_{Z_{0}}^{Z_{0} + T} \frac{1}{{\sqrt{t^{2} + C}}^{3}} d t$ 式(9-15)

数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用する。

$\int \frac{d x}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3 / 2}}$ ) = $\frac{2 (2 a x + b)}{({4 a c - b}^{2}) \sqrt{a x^{2} + b x + c}}$ 式(9-16)

a=1 , b=0 と考えれば

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + c)}^{3 / 2}}$ = $\frac{x}{c \sqrt{x^{2} + c}}$

であるから式(9-15)の積分は

$H_{z} ＝ \frac{i}{4 π} \int_{R_{i}}^{R_{o}} r d r \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} (r - X_{0} \cos θ - Y_{0} \sin θ) d θ \int_{Z_{0}}^{Z_{0} + T} \frac{1}{{\sqrt{t^{2} + C}}^{3}} d t$

$＝ \frac{i}{4 π} \int_{R_{i}}^{R_{o}} r d r \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} (r - X_{0} \cos θ - Y_{0} \sin θ) d θ {[\frac{t}{C \sqrt{t^{2} + C}}]}_{Z_{0}}^{Z_{0} + T}$

$＝ \frac{i}{4 π} \int_{R_{i}}^{R_{o}} r d r \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} (r - X_{0} \cos θ - Y_{0} \sin θ) \{\frac{Z_{0} + T}{C \sqrt{{(Z_{0} + T)}^{2} + C}} - \frac{Z_{0}}{C \sqrt{{Z_{0}}^{2} + C}}\} d θ$ 式(9-17)

式(9-5),(6-9)よりCはrの2次式で

C = $r^{2} - 2 (X_{0} \cos θ ＋ Y_{0} \sin θ) r + {X_{0}}^{2} + {Y_{0}}^{2}$

＝ ${\{r - (X_{0} \cos θ ＋ Y_{0} \sin θ)\}}^{2} + {X_{0}}^{2} + {Y_{0}}^{2} - {(X_{0} \cos θ ＋ Y_{0} \sin θ)}^{2}$

= ${\{r - (X_{0} \cos θ ＋ Y_{0} \sin θ)\}}^{2} + {(X_{0} \sin θ - Y_{0} \cos θ)}^{2}$

= ${(r - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2}$ 式(9-18)

ここで

$\begin{matrix} C_{1} = X_{0} \cos θ ＋ Y_{0} \sin θ \\ C_{4} = X_{0} \sin θ - Y_{0} \cos θ \end{matrix}\}$ 式(9-19)

と表せるので式(9-17)のrに関する積分は

$H_{z} ＝ \frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \int_{R_{i}}^{R_{o}} (r - C_{1}) \{\frac{(Z_{0} + T)}{\{{(r - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{{(r - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}}}$

$- \frac{Z_{0}}{\sqrt{{(r - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}\} r d r$

$＝ \frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \int_{R_{i}}^{R_{o}} \{\frac{(Z_{0} + T) (r - C_{1}) r}{\{{(r - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{{(r - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}}} - \frac{Z_{0} (r - C_{1}) r}{\{{(r - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{(r - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}\} d r$ 式(9-20)

ここで　 $r - C_{1} ＝ t$ 　と置きrからtの積分に変換すると

$H_{z}$ ＝ $\frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \int_{R_{i} - C_{1}}^{R_{o} - C_{1}} \{\frac{(Z_{0} + T) (t^{2} + C_{1} t)}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{t^{2} + {C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}}} - \frac{Z_{0} (t^{2} + C_{1} t)}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}\} d t$

= $\frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \int_{R_{i} - C_{1}}^{R_{o} - C_{1}} \{\frac{C_{1} (Z_{0} + T) t}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{t^{2} + {C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}}} - \frac{C_{1} Z_{0} t}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}$

$＋ \frac{(Z_{0} + T) t^{2}}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{t^{2} + {C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}}} - \frac{Z_{0} t^{2}}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}\} d t$ 式(9-21)

ここで積分の｛　｝内の初めの2項の分子はtの一次式となっており、次の数学公式Ⅰ（岩波全書）　の以下の不定積分公式を利用すると積分が実行できる。

$\int \frac{x d x}{(x^{2} + p^{2}) \sqrt{a x^{2} + c}} = \{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{a p^{2} - c}} \tan^{- 1} (\sqrt{\frac{{a x}^{2} + c}{a p^{2} - c}}) [a p^{2} > c] \\ \frac{1}{2 \sqrt{c - a p^{2}}} \log |\frac{\sqrt{{a x}^{2} + c} - \sqrt{c - a p^{2}}}{\sqrt{{a x}^{2} + c} + \sqrt{c - a p^{2}}}| [a p^{2} < c] \\ \frac{- 1}{\sqrt{a} \sqrt{x^{2} + p^{2}}} [a p^{2} = c] \end{matrix}$ 式(9-22)

ここで式(9-22)で、a→1、P→ $C_{4}$ 、c→ ${{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}$ 　または　 ${C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}$ 　（夫々1項目、2項目）と考えればよい。また式(9-22)の判定式　 $a p^{2}$ -c に相当する値は

$\begin{matrix} {C_{4}}^{2} － \{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}\} ＝－ {(Z_{0} + T)}^{2} ＜ 0 1 項目 \\ {C_{4}}^{2} － ({C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}) ＝－ {Z_{0}}^{2} ＜ 0 2 項目 \end{matrix}\}$ 式(9-22)

であるので2項共式(9-22) の2番目の公式が適用される。これらより式(9-21)は

$H_{z}$ ＝ $\frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ [\frac{C_{1} (Z_{0} + T)}{2 |Z_{0} + T|} \log |\frac{\sqrt{t^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} - |Z_{0} + T|}{\sqrt{t^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} + |Z_{0} + T|}| {- \frac{C_{1} Z_{0}}{2 |Z_{0}|} \log |\frac{\sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} - |Z_{0}|}{\sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} + |Z_{0}|}|]}_{R_{i} - C_{1}}^{R_{o} - C_{1}}$

$+ \frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \int_{R_{i} - C_{1}}^{R_{o} - C_{1}} d t \{\frac{(Z_{0} + T) t^{2}}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{t^{2} + {C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}}} - \frac{Z_{0} t^{2}}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}\} d t$

= $\frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \frac{C_{1}}{2} [s i g n (Z_{0} + T) \log \frac{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} - |Z_{0} + T|}{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} + |Z_{0} + T|} + s i g n (Z_{0}) l o g \frac{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} + |Z_{0}|}{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} - |Z_{0}|}$

- $s i g n (Z_{0} + T) \log \frac{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} - |Z_{0} + T|}{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} + |Z_{0} + T|} - s i g n (Z_{0}) l o g \frac{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} + |Z_{0}|}{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} - |Z_{0}|}]$

ここで　sign(x) は　 $ｘ < 0, x = 0, 0 < x$ 　の場合に夫々　－1　,　0　,　1　を取る関数とする。

$Z_{0}$ が次の３つの場合に場合分けして考える。

ⅰ） $Z_{0} < - T$ の時

$s i g n (Z_{0} + T) = - 1, s i g n (Z_{0}) = - 1$ であるので

$H_{z}$ ＝ $\frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \frac{C_{1}}{2} \log [\frac{\{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} - (Z_{0} + T)\}}{\{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} + (Z_{0} + T)\}} \frac{\{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} + Z_{0}\}}{\{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} - Z_{0}\}}$

$∙ \frac{\{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} + (Z_{0} + T)\}}{\{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} - (Z_{0} + T)\}} \frac{\{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} - Z_{0}\}}{\{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} + Z_{0}\}}]$

ⅱ） $- T \leq Z_{0} < 0$ の時

$s i g n (Z_{0} + T) = 1, s i g n (Z_{0}) = 1$ であるので

$H_{z}$ 　＝ $\frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \frac{C_{1}}{2} \log [\frac{\{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} - (Z_{0} + T)\}}{\{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {{C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}} + (Z_{0} + T)\}} \frac{\{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} + Z_{0}\}}{\{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} - Z_{0}\}}$

ⅰ)からⅲ)のHzの式は全ては同じ式になっている。

次に式(9-26)の後半の分子がtの2次式になっている2項の積分を考える。後半の1項目は

$s ＝ \frac{\sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} - \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}}}{t}$ 式(9-27)

とおくと

$\sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} ＝ s t + \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}}$ 式(9-28)

両辺を二乗して

$\{t ({1 - s}^{2}) - 2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} s\} t = 0$

よって

$t ＝ \frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} s}{{1 - s}^{2}}$ 式(9-29)

上式を微分すると

dt＝ $[\frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} s}{- {({1 - s}^{2})}^{2}} (- 2 s) + \frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}}}{{1 - s}^{2}} = \frac{\sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} \{4 s^{2} + 2 ({1 - s}^{2})\}}{{({1 - s}^{2})}^{2}}] d s$

$= \frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} (s^{2} + 1)}{{({1 - s}^{2})}^{2}} d s$ 式(9-30)

また式(9-28 )は式(9-29)を用いると

$\sqrt{t^{2} + {C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} ＝ \frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} s^{2}}{{1 - s}^{2}} + \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}}$ 式(9-31)

従って式(9-26)の後半の1項目の積分をtからsの積分に変換すると　

$\int_{R_{i} - C_{1}}^{R_{o} - C_{1}} d t \frac{(Z_{0} + T) t^{2}}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{t^{2} + {C_{4}}^{2} + (Z_{0} + T)}^{2}}}$

$＝ \int_{s_{i}}^{s_{o}} \{\frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} (s^{2} + 1)}{{({1 - s}^{2})}^{2}} d s\} ∙ \frac{(Z_{0} + T) {(\frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} s}{{1 - s}^{2}})}^{2}}{\{{(\frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} s}{{1 - s}^{2}})}^{2} + {C_{4}}^{2}\} \{\frac{2 \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}} s^{2}}{{1 - s}^{2}} + \sqrt{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}}\}}$

$＝ \int_{s_{i}}^{s_{o}} \frac{8 (Z_{0} + T) \{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}\} s^{2}}{[4 \{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}\} s^{2} + {C_{4}}^{2} {({1 - s}^{2})}^{2}] ({1 - s}^{2})} d s$

$＝ \int_{s_{i}}^{s_{o}} \frac{8 (Z_{0} + T) \{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}\} s^{2}}{[{C_{4}}^{2} s^{4} + 2 \{{C_{4}}^{2} + {2 (Z_{0} + T)}^{2}\} s^{2} + {C_{4}}^{2}] ({1 - s}^{2})} d s$ 式(9-32)

ここで

式(9-33)

とおいた。このように、式(9-26)の後半の1項目は式(9-32)に示したように有理化できた。

式(9-26)の後半の2項目の積分も1項目の積分と同様で、 $(Z_{0} + T)$ → $Z_{0}$ と置き換えて考えればよく、

$\int_{R_{i} - C_{1}}^{R_{o} - C_{1}} d t \frac{Z_{0} t^{2}}{\{t^{2} + {C_{4}}^{2}\} \sqrt{{t^{2} + {C_{4}}^{2} + Z_{0}}^{2}}}$

$＝ \int_{{s_{i}}^{'}}^{{s_{o}}^{'}} \frac{8 Z_{0} ({C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}) s^{2}}{[{C_{4}}^{2} s^{4} + 2 ({C_{4}}^{2} + {2 Z_{0}}^{2}) s^{2} + {C_{4}}^{2}] ({1 - s}^{2})} d s$ 式(9-34)

ここで

${s_{i}}^{'} = \frac{\sqrt{{(R_{i} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} - \sqrt{{C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{R_{i} - C_{1}}$ , ${s_{o}}^{'} = \frac{\sqrt{{(R_{o} - C_{1})}^{2} + {C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}} - \sqrt{{C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}}}{R_{o} - C_{1}}$ 式(9-35)

となる。

これらより、Hzの表式は

$+ \frac{i}{4 π} \int_{θ_{s}}^{θ_{e}} d θ \{\int_{s_{i}}^{s_{o}} \frac{8 (Z_{0} + T) \{{C_{4}}^{2} + {(Z_{0} + T)}^{2}\} s^{2}}{[{C_{4}}^{2} s^{4} + 2 \{{C_{4}}^{2} + {2 (Z_{0} + T)}^{2}\} s^{2} + {C_{4}}^{2}] ({1 - s}^{2})}$

$- \int_{{s_{i}}^{'}}^{{s_{o}}^{'}} \frac{8 Z_{0} ({C_{4}}^{2} + {Z_{0}}^{2}) s^{2}}{[{C_{4}}^{2} s^{4} + 2 ({C_{4}}^{2} + {2 Z_{0}}^{2}) s^{2} + {C_{4}}^{2}] ({1 - s}^{2})}\} d s$ 式(9-36)

この後半の有理関数の積分は、別途解き方を示すものとする。

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§９．扇型平角ワイヤーに流れる電流による磁界

2)積分の実行

１）Hxの計算

２）Hyの計算

２）Hzの計算

ⅰ）Z0<-T の時

ⅱ）-T≤ Z0<0 の時

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ⅰ） $Z_{0} < - T$ の時

ⅱ） $- T \leq Z_{0} < 0$ の時