§１-１）電流のみの場合

§１．磁性体を含む系の磁場の表式..

１）電流のみの場合

電流が作るベクトルポテンシャル

Fig.1に示した様に、領域 Vの微小領域dV'に電流 i(x',y',z') がある時、磁束密度はベクトルポテンシャル $\overset{⃑}{A}$

$\overset{⃑}{A} = \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V}^{} \frac{\overset{⃑}{ｉ}}{r} d V'$ 式(1-1)

を用いて

$\overset{⃑}{B} = \overset{⃑}{\nabla} \times \overset{⃑}{A}$ 式(1-2)

と表す事ができる。またr はFig.1より

$r = \sqrt{{(x - x')}^{2} + {(y - y')}^{2} + {(z - z')}^{2}}$ 式(1-3)

と書ける。
実際式(1-2)は式(1-1)を用いて

$\overset{⃑}{B} = \overset{⃑}{\nabla} \times \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V}^{} \frac{\overset{⃑}{ｉ}}{r} d V'$

$= \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V}^{} \{(\frac{\partial}{\partial y} \frac{i_{z}}{r} - \frac{\partial}{\partial z} \frac{i_{y}}{r}) \overset{⃑}{e_{x}} + (\frac{\partial}{\partial z} \frac{i_{x}}{r} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{i_{z}}{r}) \overset{⃑}{e_{y}} + (\frac{\partial}{\partial x} \frac{i_{y}}{r} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{i_{x}}{r}) \overset{⃑}{e_{z}}\} d V'$

$= ∭_{V}^{} [\{i_{z} \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{r}) - i_{y} \frac{\partial}{\partial z} (\frac{1}{r})\} \overset{⃑}{e_{x}} + \{i_{x} \frac{\partial}{\partial z} (\frac{1}{r}) - i_{z} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{r})\} \overset{⃑}{e_{y}} + \{i_{y} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{r}) - i_{x} \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{r})\} \overset{⃑}{e_{z}}] d V'$

$= - \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V}^{} \overset{⃑}{i} \times \overset{⃑}{\nabla} \frac{１}{r}$ 式(1-4)

式(1-3)を用いると

$\overset{⃑}{\nabla} \frac{１}{r} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{{(x - x')}^{2} + {(y - y')}^{2} + {(z - z')}^{2}}} \overset{⃑}{e_{x}} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{\sqrt{{(x - x')}^{2} + {(y - y')}^{2} + {(z - z')}^{2}}} \overset{⃑}{e_{y}} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{\sqrt{{(x - x')}^{2} + {(y - y')}^{2} + {(z - z')}^{2}}} \overset{⃑}{e_{z}}$

$= \frac{- (x - x')}{{\sqrt{{(x - x')}^{2} + {(y - y')}^{2} + {(z - z')}^{2}}}^{3}} \overset{⃑}{e_{x}} + \frac{- (y - y')}{{\sqrt{{(x - x')}^{2} + {(y - y')}^{2} + {(z - z')}^{2}}}^{3}} \overset{⃑}{e_{y}} + \frac{- (z - z')}{{\sqrt{{(x - x')}^{2} + {(y - y')}^{2} + {(z - z')}^{2}}}^{3}} \overset{⃑}{e_{z}}$

$= - \overset{⃑}{r} \frac{1}{r^{3}}$ 式(1-5)

と表せるので、式(1-4)は

$\overset{⃑}{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V}^{} \overset{⃑}{ｉ} \times \overset{⃑}{r} \frac{1}{r^{3}} d V'$ 式(1-6)

と表式化ができた。

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